Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin

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La fonction sinus est une surjection de $ℝ$ vers $[-1,1]$. Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme $I_k:=[-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ],k\in \mathbb{Z}$, car sa restriction à $I_k$ est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple ($I_0$), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :

La fonction arc sinus

Définition

On appelle arcsinus, et l'on note $\arcsin$, la bijection de $[-1,1]$ dans $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ qui,

à tout réel $x\in [-1,1]$, associe l'unique réel $\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ tel que $\sin (\theta )=x$

Autrement dit :

$\arcsin (x)=\theta \iff x=\sin (\theta )\text{et}\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

La courbe représentative de $\arcsin$ se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à $I_0$) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :

Courbe représentative de $\arcsin (x)$

Remarques

• $\mathrm{\forall }\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\arcsin (\sin (\theta ))=\theta$
• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1]\sin (\arcsin (x))=x$

Variations

Puisque $\sin$ est continue et strictement croissante sur $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, on a :

Propriété

La fonction $\arcsin$ est continue et strictement croissante sur $[-1,1]$.

Tableau de variation

$x$	$-1$ $+1$
$\arcsin (x)$	$+\frac{\pi }{2}$ $\nearrow$ $-\frac{\pi }{2}$

Dérivée

Début d’un théorème

Théorème

La fonction $\arcsin$ est dérivable sur $]-1,1[$ et

$\mathrm{\forall }x\in ]-1,1[{\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Fin du théorème