Fonction exponentielle/Exercices/Étude d'une fonction comportant des exponentielles

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Cet exercice est tombé au Bac S (2001).

On appelle $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :

$f:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

On désigne par $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Question 1
   1. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.
   2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $ℝ$.
2. Question 2
   1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 0.
   2. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $ℝ$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de $𝒞$ par rapport à T.
   3. Tracer $𝒞$ et T.

Solution

1.1 Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^{-x}=0$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^{-x}=+\mathrm{\infty }$

Donc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

1.2 Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de ƒ sur $ℝ$.

$f$ est dérivable et, pour tout $x\in ℝ$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-(-1)\times {\mathrm{e}}^{-x})=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)>0$

$f$ est strictement croissante.

2.1 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente à $𝒞$ au point d'abscisse 0 est la droite d'équation $y=f(0)+f^{\prime }(0)(x-0)$

La tangente à $𝒞$ au point d'abscisse 0 est la droite $y=x$.

2.2 En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $ℝ$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de $𝒞$ par rapport à T.

d est dérivable et, pour tout $x\in ℝ$

$\begin{array}{cc}{d}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)-1\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}-1\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^x-2+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}\\ & =\frac{({\mathrm{e}}^{x/2}{)}^2-2{\mathrm{e}}^{x/2}{\mathrm{e}}^{-x/2}+({\mathrm{e}}^{-x/2}{)}^2}{2}\\ & =\frac{({\mathrm{e}}^{x/2}-{\mathrm{e}}^{-x/2}{)}^2}{2}\\ \end{array}$

Un carré étant toujours positif, on obtient que d est croissante. Ce qui nous intéresse pour déterminer les positions relatives de T et $𝒞$ est le signe de d. On utilise les variations de d pour trouver son signe :

On remarque que d(0) = 0. Le tableau de variations est donc du type suivant :

$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& & 0& & +\mathrm{\infty }\\ & & & & \nearrow & \\ \text{Variations~de}d& & & 0& & \\ & & \nearrow & & & \end{array}$

On en déduit que :

• d est négative sur ${ℝ}^{-}$
• d est positive sur ${ℝ}^{+}$

Finalement, Sur ${ℝ}^{-}$, T est au-dessus de $𝒞$ Sur ${ℝ}^{+}$, T est en-dessous de $𝒞$

2.3 Tracer $𝒞$ et T.

 

Une petite page de culture

La fonction $f$ est une fonction classique en mathématiques qui s’appelle la fonction « sinus hyperbolique », notée $\sinh$.

$\sinh :x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

Sa dérivée est la fonction « cosinus hyperbolique », notée $\cosh$.

$\cosh :x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

Ces fonctions sont respectivement les parties impaire et paire de l'exponentielle :

• pour tout $x\in ℝ\sinh (-x)=-\sinh x$ ;
• pour tout $x\in ℝ\cosh (-x)=\cosh x$ ;
• pour tout $x\in ℝ\cosh x+\sinh x={\mathrm{e}}^x$.

De plus, elles disposent de propriétés algébriques très ressemblantes aux fonctions de trigonométrie classique. Par exemple ${\cosh }^2-{\sinh }^2=1$.

Pour aller plus loin, consulter le cours sur la trigonométrie hyperbolique.