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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction dérivée : Dérivée de la puissance énième d'une fonction
Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Problématique : Comment dériver directement des fonctions comme
ou
?
On donne une formule générale très simple à retenir et à appliquer.
Début d’un théorème
Théorème
Soient une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier relatif
Soit ƒ la fonction définie par
Alors ƒ est dérivable sur I et de plus:
- Pour tout
.
Fin du théorème
Remarque : Dans l’écriture
, c’est bien le nombre
qui est mis à la puissance n et pas seulement x.
On souhaite dériver la fonction
définie sur
Ici on a :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=3x+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd04488441fbee84171ba2402641329e2a9bbf88)
- n = 2
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f(x)=u(x)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079b23bdd83ad5ee587267429d342b1d057566b)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur
, donc ƒ est dérivable sur ![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148a523fd63589354dfcbe049b73af7faff38bcd)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 3(3x+5)^{2-1}=6(3x+5)=18x+30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed3322ccc5e855cee1fd070950f88b49bc06ba5)
On souhaite dériver la fonction
, définie sur
Ici on a :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=x^{2}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70e8a2976fb8cfd077e132965ea868e6f84f499)
- n = 4
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f(x)=u(x)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079b23bdd83ad5ee587267429d342b1d057566b)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur
, donc ƒ est dérivable sur ![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8d2ac589b7b2c3d45c34e0fef41bb15da7d177)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=8x(x^{2}-3)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06eab12d94c460d7bf3cbe2904c2f039ed585d8)
On souhaite dériver la fonction
(attention à cette notation !), définie sur
.
Ici on a :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b636830a0000a89f143ad0c4977c9e39912bc954)
- n = 3
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f(x)=u(x)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079b23bdd83ad5ee587267429d342b1d057566b)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur
, donc ƒ est dérivable sur ![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13b59c8c220259f087fc8d4c1407358563b0539)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3\sin(x)\cdot \cos ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b84589298023334a0bce72db2898bac0df06436)
Dériver les trois fonctions suivantes:
, définie sur
, définie sur
, définie sur
Début d’un théorème
Théorème
Soient une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier strictement positif.
Soit ƒ la fonction définie par
Alors ƒ est dérivable sur l’ensemble des valeurs de I sauf les valeurs pour lesquelles u s’annule et :
- pour tout x dans cet ensemble,
![{\displaystyle f'(x)={\frac {-n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a54fb288cdd588f92f833870d48089348bc593)
Fin du théorème
Remarque : Cette formule peut se démontrer en étendant la précédente à n négatif ou encore en appliquant u/v.
On souhaite dériver la fonction
, définie sur un certain domaine I pour lequel
ne s'annule pas.
Ici on a :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I,~u(x)=-x^{3}+2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9343a9c47fb15f6161f443573944a4edb428d364)
- n = 2
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I,~f(x)={\frac {1}{u(x)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8cdf4ff91d0ecbd79c31c7462de46234c3eead)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, donc ƒ est dérivable sur I
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=-3x^{2}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0cf89444e377d7784d211402b4a9fec68327ed)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in I,~f'(x)={\frac {6x^{2}-4}{(-x^{3}+2x)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57caf7c58eed7c0af1433e6bf769d6811f6039f0)
Dériver les trois fonctions suivantes :
, définie sur ![{\displaystyle I_{f}=]0;\,\pi [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67b7dc13868794f1184b0027dbe326b949806b0)
, définie sur ![{\displaystyle I_{g}=\mathbb {R} \backslash \{{\sqrt[{3}]{4}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aefc28d3e2163b025bb2295b14272bf5559e3b5)
, définie sur ![{\displaystyle I_{h}=\mathbb {R} \backslash \{-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f90a0b2878b290ed48f3475f48ac62e1d6235cb)
Solution
- Fonction ƒ
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{f},~u(x)=\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6685c56d2860c3fdc5996646a19a149b74416016)
- n = 2
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{f},~f(x)={\frac {1}{u(x)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f604391b5dc05157e0b1ae245a0a3aa16f2395)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur If et ne s'annule pas sur If, donc ƒ est dérivable sur If
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{f},~u'(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedc9373124467c8f0a599c5f2ae34d0f2ff7656)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in I_{f},~f'(x)={\frac {-2\cos(x)}{\sin ^{3}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8092f4995e7607dedd6dca09958e1fe6cd02b9c2)
- Fonction g
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{g},~u(x)=x^{3}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6a395cf950f8d7c07f76e4e9c38f0e2d92af67)
- n = 2
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{g},~g(x)=5\cdot {\frac {1}{u(x)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460ccaa2b2f6f9591cf43411b5fd25c7ed817616)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur Ig et ne s'annule pas sur Ig, donc g est dérivable sur Ig
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{g},~u'(x)=3x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8a823dd69e54f128e08340d2e4f6f177f05bb0)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in I_{g},~g'(x)=5{\frac {-2\cdot 3x^{2}}{(x^{3}-4)^{3}}}={\frac {-30x^{2}}{(x^{3}-4)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce308366164e43cfc2e384c42c1e92297bc0596)
- Fonction h
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{h},~u(x)=x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311f489384fc47dedb870115a8bd354e16fa75eb)
- n = 3
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{h},~h(x)=-2{\frac {1}{u(x)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8c2f81409d45c07701813cc822ace2f4a4a64e)
On applique le théorème :
- u est dérivable sur Ih et ne s'annule pas sur Ih, donc h est dérivable sur Ih
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I_{h},~u'(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a682dfc890f5467cd153f1adaf5edb368fe9f575)
- Donc d’après le théorème, pour tout
![{\displaystyle x\in I_{h},~h'(x)={\frac {6}{(x+1)^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8286de0e8db3b4597570a293839b9613e3f9a4)