Expressions algébriques/Quelques règles

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Polynôme à plusieurs indéterminées

Les polynômes comme : $7x^3+x^2-3x+2$ sont des polynômes à une seule indéterminée qui est $x$.

Un polynôme à deux indéterminées $x$ et $y$ serait par exemple : $3x^3{y}^5+6x^4{y}^2-3x^{2}y+5x{y}^3+2$

Un polynôme à trois indéterminées $x$, $y$ et $z$ serait par exemple : $5x^3{y}^{4}z+2x^3{y}^2{z}^5-3x^{2}y{z}^3+5x{y}^3+2z$

et ainsi de suite..

Ces polynômes s'écrivent comme des sommes de termes de la forme $x^n{y}^m{z}^p\cdots$ que l'on appelle monôme. Un polynôme est donc une somme de monômes.

Le degré d'un monôme est égal à la somme des puissances des indéterminées $x$, $y$, $z$, etc.

Si tous les monômes du polynôme ont le même degré, alors le polynôme est homogène.

Par exemple : $4x^3{y}^2-5x^{4}y-3x^2{y}^3+5x{y}^4+2y^5$est un polynôme homogène de degré 5.

Si nous avons dit cela, ce n'est pas pour faire un cours sur les polynômes, mais pour donner un premier conseil sur la transformation d'expressions algébriques.

Les expressions algébriques à transformer sont souvent faites de polynômes homogènes. Nous avons alors la règle suivante :

Règle 1

Lorsque l'on factorise un polynôme homogène en produit de polynômes homogènes, la somme des degrés de tous les facteurs est égale au degré du polynôme homogène de départ.

Exemple. Dans l'identité remarquable : $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ on a : Au premier membre, un polynôme homogène à deux indéterminées $a$ et $b$ du second degré. Au second membre, un produit de deux polynômes homogènes à deux indéterminées $a$ et $b$ du premier degré.

Astuce de factorisation

Nous commencerons par énoncer la règle suivante :

Règle 2

Soit $P$ une expression algébrique et $R$ une (sous-)expression algébrique apparaissant dans $P$.

S'il existe une expression $S$ telle que le remplacement de $R$ par $S$ dans $P$ permet de réduire l'expression $P$ à 0, alors on peut mettre $(S-R)$ en facteur dans $P$.

Exemple. Supposons que l'on doive factoriser l'expression : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2$ nous remarquons qu'en remplaçant $b$ par $a^2$, nous obtenons : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2=a^5+a^4-a^4-a^5=0$ Nous pouvons donc commencer la factorisation ainsi : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)\times Q$ $Q$ étant une expression algébrique à déterminer. (nous verrons, dans la suite de cette leçon, plusieurs méthodes pour déterminer $Q$)

Monômes de plus haut degré uniques

Nous avons la règle suivante :

Règle 3

Soit $P$ un polynôme à plusieurs indéterminées et soient $R$ et $S$ deux polynômes vérifiant : $P=R\times S$

Alors, $R$ et $S$ ont un monôme de plus haut degré unique si et seulement si $P$ a un monôme de plus haut degré unique.

Le produit du monôme de plus haut degré de $R$ par le monôme de plus haut degré de $S$ est égal au monôme de plus haut degré de $P$.

Exemple. Poursuivons l'exemple du paragraphe précédent. Nous avons vu qu'il existe une expression algébrique $Q$ vérifiant : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)\times Q$ Il nous restait à déterminer $Q$. D'après la règle 3, on doit pouvoir écrire $Q$ sous la forme : $Q=a^3+R$ et en reportant, on obtient : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)\times (a^3+R)$ qui se simplifie sous la forme : $a^{3}b+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)\times R$ Nous pouvons considérer que la situation s'est améliorée car nous avons maintenant au premier membre un polynôme de degré 4 (au lieu de 5). Réappliquons la règle 3. On doit pouvoir écrire $R$ sous la forme : $R=ab+L$ et en reportant, on obtient : $a^{3}b+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)\times (ab+L)$ qui se simplifie sous la forme : $b^2-a^{2}b=(a^2-b)\times L$ Où l'on voit clairement que : $L=-b$ Si l'on récapitule, on a : $Q=a^3+R=a^3+ab+L=a^3+ab-b$ En reportant dans : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)\times Q$ nous pouvons conclure que : $a^5+b^2-a^{2}b-a{b}^2=(a^2-b)(a^3+ab-b)$

Monômes de plus haut degré multiples

La méthode utilisée dans l'exemple du paragraphe précédent peut se généraliser à des polynômes qui contiennent plusieurs monômes du degré le plus élevé. Dans ce cas-là, on risque de s'y prendre à plusieurs reprises pour savoir quel monôme doit être divisé par tel autre monôme. On tentera alors de faire en sorte qu'après simplification, le degré du polynôme du premier membre diminue et que le nombre de monômes dans le premier membre se réduise.

Pour ce faire, une méthode qui permet souvent d'aboutir est de commencer par rechercher tous les quotients possibles en divisant tous les monômes de plus haut degré du premier membre par tous les monômes de plus haut degré apparaissant dans le second membre et de choisir le ou les quotients qui apparaissent le plus souvent.

C'est pas très clair, prenons un exemple :

Exemple. Supposons que l'on doive déterminer un polynôme $Q$ tel que : $2a^{2}c+b^{2}c+b{c}^2-a^3-b^3-c^3=(a+b-c)\times Q$ Nous sommes dans le cas le plus défavorable car les deux polynômes en présence sont tous les deux homogènes. Les monômes présents sont donc tous de plus haut degré. Le quotient du monôme $2a^{2}c$ du premier membre par le monôme $a$ du second membre donne le monôme $2ac$. Le quotient du monôme $2a^{2}c$ du premier membre par le monôme $b$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $2a^{2}c$ du premier membre par le monôme $-c$ du second membre donne le monôme $-2a^2$. Le quotient du monôme $b^{2}c$ du premier membre par le monôme $a$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $b^{2}c$ du premier membre par le monôme $b$ du second membre donne le monôme $bc$. Le quotient du monôme $b^{2}c$ du premier membre par le monôme $-c$ du second membre donne le monôme $-b^2$. Le quotient du monôme $b{c}^2$ du premier membre par le monôme $a$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $b{c}^2$ du premier membre par le monôme $b$ du second membre donne le monôme $c^2$. Le quotient du monôme $b{c}^2$ du premier membre par le monôme $-c$ du second membre donne le monôme $-bc$. Le quotient du monôme $-a^3$ du premier membre par le monôme $a$ du second membre donne le monôme $-a^2$. Le quotient du monôme $-a^3$ du premier membre par le monôme $b$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-a^3$ du premier membre par le monôme $-c$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-b^3$ du premier membre par le monôme $a$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-b^3$ du premier membre par le monôme $b$ du second membre donne le monôme $-b^2$. Le quotient du monôme $-b^3$ du premier membre par le monôme $-c$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-c^3$ du premier membre par le monôme $a$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-c^3$ du premier membre par le monôme $b$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-c^3$ du premier membre par le monôme $-c$ du second membre donne le monôme $c^2$. Nous constatons que nous avons obtenu deux fois le monôme $-b^2$ et deux fois le monôme $c^2$ Nous considérerons donc que ces deux monômes ont une forte probabilité de figurer dans $Q$ et nous poserons : $Q=c^2-b^2+R$ En remplaçant plus haut, on obtient : $2a^{2}c+b^{2}c+b{c}^2-a^3-b^3-c^3=(a+b-c)(c^2-b^2+R)$ qui se simplifie ainsi : $2a^{2}c+a{b}^2-a{c}^2-a^3=(a+b-c)\times R$ la situation s'est un peu améliorée car nous n'avons plus que 4 monômes au premier membre (au lieu de 6). et on recommence : Le quotient du monôme $2a^{2}c$ du premier membre par le monôme $a$ du second membre donne le monôme $2ac$. Le quotient du monôme $2a^{2}c$ du premier membre par le monôme $b$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $2a^{2}c$ du premier membre par le monôme $-c$ du second membre donne le monôme $-2a^2$. Le quotient du monôme $a{b}^2$ du premier membre par le monôme $a$ du second membre donne le monôme $b^2$. Le quotient du monôme $a{b}^2$ du premier membre par le monôme $b$ du second membre donne le monôme $ab$. Le quotient du monôme $a{b}^2$ du premier membre par le monôme $-c$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-a{c}^2$ du premier membre par le monôme $a$ du second membre donne le monôme $-c^2$. Le quotient du monôme $-a{c}^2$ du premier membre par le monôme $b$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-a{c}^2$ du premier membre par le monôme $-c$ du second membre donne le monôme $ac$. Le quotient du monôme $-a^3$ du premier membre par le monôme $a$ du second membre donne le monôme $-a^2$. Le quotient du monôme $-a^3$ du premier membre par le monôme $b$ n'est pas possible. Le quotient du monôme $-a^3$ du premier membre par le monôme $-c$ n'est pas possible. Nous n'avons pas, cette fois, de monômes égaux. Mais nous avons deux quotients en $ac$ et deux quotients en $a^2$ mais avec des coefficients différents. Nous poserons donc : $R=xac+y{a}^2+L$ Nous réservant par la suite la possibilité de choisir $x$ et $y$ de façon à minimiser le nombre de monômes du premier membre de l'expression : $2a^{2}c+a{b}^2-a{c}^2-a^3=(a+b-c)(xac+y{a}^2+L)$ qui se simplifie sous la forme : $(x-1)a{c}^2+(2-x+y)a^{2}c+a{b}^2-y{a}^{2}b-xabc-(y+1)a^3=(a+b-c)\times L$ Si l'on veut faire disparaître un maximum de monôme du premier membre, l'idéal serait que $x$ et $y$ satisfasse le système : $\{\begin{array}{c}x-1=0\\ 2-x+y=0\\ y=0\\ x=0\\ y+1=0\end{array}$ Nous voyons que l'on peut satisfaire trois équations en prenant : $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-1\end{array}$ Dans ce cas, on aura : $R=ac-a^2+L$ qui nous donnera : $a{b}^2+a^{2}b-abc=(a+b-c)\times L$ et nous remarquons que l'on peut factoriser sous la forme : $(b+a-c)\times ab=(a+b-c)\times L$ Ce qui nous montre que : $L=ab$ Si l'on récapitule, on a : $Q=c^2-b^2+R=c^2-b^2+ac-a^2+L=c^2-b^2+ac-a^2+ab$ En reportant dans : $2a^{2}c+b^{2}c+b{c}^2-a^3-b^3-c^3=(a+b-c)\times Q$ on obtient finalement : $2a^{2}c+b^{2}c+b{c}^2-a^3-b^3-c^3=(a+b-c)(c^2-b^2+ac-a^2+ab)$

Invariance par permutation circulaire

Une expression est invariante par permutation circulaire des variables si, en plaçant les variables sur un cercle, l'expression ne change pas lorsqu'on remplace chaque variable par celle qui suit, et ce, en tournant dans le cercle (dans le même sens pour toutes les variables : sens trigonométrique ou sens horaire). L'expression reste invariante si l'on continue à tourner jusqu'à revenir à l'expression initiale.

Par exemple, considérons l'expression : $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-xyz$

Plaçons les trois variables sur un cercle :

En tournant, par exemple dans le sens horaire, nous voyons que :

$x$ est remplacé par $y$.

$y$ est remplacé par $z$.

$z$ est remplacé par $x$.

L'expression devient alors :

$y^{2}z+z^{2}x+x^{2}y-yzx$

mais si l’on regarde bien, c'est toujours la même expression.

Si l'on continue à tourner, on obtient :

$z^{2}x+x^{2}y+y^{2}z-zxy$

et c'est encore la même expression.

Si on continue à tourner encore une fois, on retombe sur l'expression de départ.

On a donc bien affaire à une expression invariante par permutation circulaire des variables $x$, $y$ et $z$.

Nous avons alors les deux règles suivantes :

Règle 4

Si une expression est invariante par permutation circulaire de certaines variables, alors cette expression reste invariante par permutation circulaire des mêmes variables après une de ses transformations (simplification, factorisation, etc.).

C'est évident, mais si l'on prend la peine de le préciser, c'est parce que cette règle est utile, ne serait-ce que pour détecter des erreurs lorsque l'on transforme une expression invariante par permutation circulaire et que l'on constate que l'expression obtenue n'est plus invariante par permutation circulaire.

Règle 5

Soit une expression E, invariante par permutation circulaire de certaines variables.

Si l'on sait que dans cette expression, on peut mettre en facteur une expression particulière F qui n'est pas invariante par permutation circulaire des mêmes variables, alors toute expression obtenue par permutation circulaire des dites variables de F peut être mise en facteur dans E.

Exemple. Soit à factoriser l'expression : $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ Nous voyons que cette expression est invariante par permutation circulaire des variables $a$, $b$ et $c$. Si l'on remplace $a$ par $b$, nous voyons que l'expression s'annule. D'après la règle 2, on en déduit que l'on peut mettre $(a-b)$ en facteur. Mais $(a-b)$ n'est pas invariante par permutation circulaire des variables $a$, $b$ et $c$. D'après la règle 5, on en déduit que l'on peut aussi mettre en facteur les expressions obtenues par permutation circulaire des variables $a$, $b$ et $c$ dans l'expression $(a-b)$, c'est-à-dire $(b-c)$ et $(c-a)$. Il existera donc une expression $Q$ telle que : $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)\times Q$ Mais d'après la règle 1, on déduit que $Q$ est un polynôme homogène de degré 0, c'est-à-dire une constante que l'on détermine facilement et qui est -1. On obtient donc finalement : $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)$

Parité par rapport à une variable

Nous avons la définition suivante :

Définition

Une expression est paire par rapport à une variable si le fait de transformer cette variable en son opposé ne change pas l'expression.

Une expression est impaire par rapport à une variable si le fait de transformer cette variable en son opposé transforme l'expression en son opposé.

Par exemple l'expression :

$a^{2}b-b^3+a^{4}b$

est paire par rapport à $a$ et impaire par rapport à $b$

Règle 6

La parité d'une expression par rapport à une variable ne change pas lors d'une transformation (simplification, factorisation, etc.) de cette expression.

Là aussi cette règle permet de détecter des erreurs si l'on constate que la parité par rapport à une variable n'est pas la même dans le résultat qu'au début.

Cette règle peut aussi permettre certaines opérations.

Exemple. Soit à simplifier l'expression : $\frac{a^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)}{a^2+b^2-a+1}$ Toute tentative pour factoriser le dénominateur faisant apparaître un facteur qui pourrait aussi apparaître dans le numérateur semble vouée à l'échec. Toutefois si l'exercice a été posé c'est que le dénominateur en entier doit être un facteur du numérateur. Pour le vérifier, utilisons la règle 2 en remplaçant dans le numérateur $b^2$ par $a-a^2-1$ (c'est ce qui semble le plus simple). On obtient : $\begin{array}{cc}{a}^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)& =a^4+(a-a^2-1{)}^2+(a^2+1)(2a-2a^2-2+1)\\ & =a^4+a^2+a^4+1-2a^3-2a+2a^2+2a^3-2a^4-a^2+2a-2a^2-1\\ & =0\end{array}$ Il existe donc $Q$ tel que : $a^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)=(a^2+b^2-a+1)\times Q$ et c'est là qu'intervient la règle 6. Nous voyons que le premier membre est pair par rapport à $a$. Le second membre doit donc aussi être pair par rapport à $a$. Si l'on transforme $a$ en $-a$, le second membre devient : $(a^2+b^2+a+1)\times Q^{\prime }$ Cette expression devant toujours être égale à $a^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)$, nous en déduisons qu'il y a aussi $(a^2+b^2+a+1)$ en facteur. $a^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)=(a^2+b^2-a+1)(a^2+b^2+a+1)\times Q^{″}$ En développant le second membre on voit que $Q^{″}=1$ et donc : $a^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)=(a^2+b^2-a+1)(a^2+b^2+a+1)$ Finalement, la simplification de l'expression de départ pourra s'effectuer ainsi : $\frac{a^4+b^4+(a^2+1)(2b^2+1)}{a^2+b^2-a+1}=\frac{(a^2+b^2-a+1)(a^2+b^2+a+1)}{a^2+b^2-a+1}=a^2+b^2+a+1$

Polynôme symétrique

Un polynôme est symétrique par rapport à certaines variables si une permutation quelconque de deux de ces variables laisse le polynôme inchangé. Si les variables ne sont pas précisées, alors le polynôme est symétrique par rapport à toutes les variables.

Par exemple :$a^3+b^3+c^3-5ab-5ac-5bc+3$ est un polynôme symétrique.

$a^3+b^3+c^3-5ab-5ac+7bc+3$ est un polynôme symétrique par rapport aux variables $b$ et $c$.

Règle 7

Un polynôme symétrique par rapport à certaines variables reste symétrique par rapport à ces variables lors d'une transformation (simplification, factorisation, etc.).