Expressions algébriques/Exercices/Exposants rationnels

Exercice 8-1

Simplifier les expressions :

a)  $(x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}+1)(x-x^{\frac{1}{2}}+1)$

b)  $(2^{\frac{1}{4}}a+3^{\frac{1}{4}}b)(3^{\frac{1}{4}}a-2^{\frac{1}{4}}b)-6^{\frac{1}{4}}(a^2-b^2)+2^{\frac{1}{2}}ab$

c)  $\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{4}}}.\frac{x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{4}}{y}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}$

d)  $\frac{x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{1}{4}}+1}{x^{\frac{1}{4}}-2x^{\frac{1}{8}}+1}$

a) Corrigé

On trouve :

$x^2+x+1$

 

b) Corrigé

On trouve :

$3^{\frac{1}{2}}ab$

 

c) Corrigé

On trouve :

$x^{\frac{1}{4}}{y}^{\frac{1}{4}}-x^{\frac{-1}{4}}{y}^{\frac{3}{4}}$

 

d) Corrigé

On trouve :

${(x^{\frac{1}{8}}+1)}^2$

 

Exercice 8-2

Démontrer que le polynôme :

$P=x^3-a^{-\frac{2}{3}}{b}^{-1}(a^2+b^2)x+b^{\frac{1}{2}}$

s'annule si l'on remplace $x$ par $a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{2}}$.

Factoriser $P$.

Solution

${\left(a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{2}}\right)}^3-a^{-\frac{2}{3}}{b}^{-1}(a^2+b^2)\left(a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{2}}\right)+b^{\frac{1}{2}}=a^2{b}^{-\frac{3}{2}}-(a^2+b^2)b^{-\frac{3}{2}}+b^{\frac{1}{2}}=0$.

$P=(x-a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{2}})(x^2+a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{2}}x+a^{-\frac{2}{3}}b)$.

 

Exercice 8-3

Vérifier l'identité :

${(a^2+a^{\frac{4}{3}}{b}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}+{(b^2+a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}={(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$.

Solution

Posons $x=a^{\frac{2}{3}}$ et $y=b^{\frac{2}{3}}$. On a bien

${(x^3+x^{2}y)}^{\frac{1}{2}}+{(y^3+x{y}^2)}^{\frac{1}{2}}={\left(x^2\right)}^{\frac{1}{2}}{(x+y)}^{\frac{1}{2}}+{\left(y^2\right)}^{\frac{1}{2}}{(y+x)}^{\frac{1}{2}}={(x+y)}^{\frac{3}{2}}$.

 

Exercice 8-4

En supposant $a>0$ et $b>0$, calculer la valeur que prend la fraction :

$\frac{a^{\frac{1}{2}}-{[a-(a^2-ax{)}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+{[a-(a^2-ax{)}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}}$

pour :

$x=a[1-\frac{16b^2}{(1+b{)}^4}]$

Corrigé

On trouve :

Si $b<1$, la fraction est égal à $b$.

Si $b>1$, la fraction est égal à $\frac{1}{b}$.

 

Exercice 8-5

$p$ et $q$ étant deux nombres rationnels et $\frac{a+b}{a-b}$ étant positif, calculer la valeur que prend l'expression :

$P=\frac{1}{2}.\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}(x^{\frac{1}{p}}+x^{\frac{1}{q}})$

pour :

$x={\left(\frac{a+b}{a-b}\right)}^{\frac{2pq}{q-p}}$

Corrigé

On trouve :

${\left(\frac{a+b}{a-b}\right)}^{\frac{q+p}{q-p}}$

 

Exercice 8-6

En supposant $p>0,q>0,pq>1,$ simplifier l'expression :

$\frac{{(p^2-\frac{1}{q^2})}^p{(p-\frac{1}{q})}^{q-p}}{{(q^2-\frac{1}{p^2})}^q{(q+\frac{1}{p})}^{p-q}}$

Corrigé

On trouve :

${\left(\frac{p}{q}\right)}^{p+q}$

 

Exercice 8-7

Simplifier les fractions :

a)  $\frac{a^2-a^{\frac{3}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}-2a^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{4}}+2x^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}$

b)  $\frac{x^{\frac{5}{3}}-x^{\frac{4}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}-x{y}^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{2}{3}}y}{x^{\frac{5}{3}}-2x{y}^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{4}{3}}}$

c)  $\frac{a-x+4a^{\frac{1}{4}}{x}^{\frac{3}{4}}-4a^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}{x}^{\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{2}}}$

d)  $\frac{x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}-16x^{-\frac{2}{3}}-32x^{-1}}{x^{\frac{1}{6}}+4x^{-\frac{1}{6}}+4x^{-\frac{1}{2}}}$

e)  $\frac{1+x-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{3}}(1+x^{\frac{1}{2}})+x^{\frac{1}{2}}(2+\frac{9}{16}{x}^{\frac{1}{6}})}{1-\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}}$

a) Corrigé

On trouve :

$a^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{4}}$

 

b) Corrigé

On trouve :

$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}}$

 

c) Corrigé

On trouve :

${(x^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}})}^2$

 

d) Corrigé

On trouve :

$(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{2}{3}}+4)x^{-\frac{1}{2}}$

 

e) Corrigé

On trouve :

$x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{3}}+1$