Expressions algébriques/Exercices/Pour les cracks

Dans toute la page, même si ce n'est pas indiqué, les variables prennent des valeurs telles que les calculs soient définis.

Exercice 9-1

Démontrer que si l'expression algébrique :

$E=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}$

est nulle, alors l'expression :

$F=\frac{a}{(b-c{)}^2}+\frac{b}{(c-a{)}^2}+\frac{c}{(a-b{)}^2}$

est nulle aussi.

La réciproque est-elle vraie ?

(Si la réciproque est fausse, on pourra le démontrer en se contentant de donner un contre-exemple)

Solution

On vérifiera, en développant le second membre que l'on a la factorisation suivante :

$\frac{a}{(b-c{)}^2}+\frac{b}{(c-a{)}^2}+\frac{c}{(a-b{)}^2}=(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})$

qui s'écrit :

$F=E\times (\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})$

et nous voyons clairement que si $E$ est nulle alors $F$ est nulle aussi.

En ce qui concerne la réciproque, l'expression :

$\begin{array}{cc}\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}& =\frac{(c-a)(a-b)+(b-c)(a-b)+(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\ & =\frac{ab+bc+ac-a^2-b^2-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\ & =-\frac{a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2}{2(a-b)(b-c)(c-a)}\\ & =-\frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2}{2(a-b)(b-c)(c-a)}\end{array}$

ne peut visiblement pas être nulle

donc toujours en considérant l'expression :

$F=E\times (\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})$,

nous voyons que si l’expression $F$ est nulle, l'expression $E$ le sera aussi.

La réciproque est donc vraie aussi.

 

Exercice 9-2

Factorisez le polynôme :

$P=a^n[c^2(a-b{)}^2-b^2(c-a{)}^2]+b^n[a^2(b-c{)}^2-c^2(a-b{)}^2]+c^n[b^2(c-a{)}^2-a^2(b-c{)}^2]$

Solution

Nous observons des différences de carrés. On a donc :

$\begin{array}{cc}P& =a^n[c^2(a-b{)}^2-b^2(c-a{)}^2]+b^n[a^2(b-c{)}^2-c^2(a-b{)}^2]+c^n[b^2(c-a{)}^2-a^2(b-c{)}^2]\\ & =a^n[c(a-b)+b(c-a)][c(a-b)-b(c-a)]+b^n[a(b-c)+c(a-b)][a(b-c)-c(a-b)]+c^n[b(c-a)+a(b-c)][b(c-a)-a(b-c)]\\ & =a^n(ca-\cancel{cb}+\cancel{bc}-ba)[c(a-b)-b(c-a)]+b^n(ab-\cancel{ac}+\cancel{ca}-cb)[a(b-c)-c(a-b)]+c^n(bc-\cancel{ba}+\cancel{ab}-ac)[b(c-a)-a(b-c)]\\ & =a^{n}a(c-b)[c(a-b)-b(c-a)]+b^{n}b(a-c)[a(b-c)-c(a-b)]+c^{n}c(b-a)[b(c-a)-a(b-c)]\\ & =ac(a-b)(c-b)a^n-ab(c-a)(c-b)a^n+ba(b-c)(a-c)b^n-bc(a-b)(a-c)b^n+cb(c-a)(b-a)c^n-ca(b-c)(b-a)c^n\\ & =ca(a-b)(b-c)c^n-ca(a-b)(b-c)a^n+ab(c-a)(b-c)a^n-ab(b-c)(c-a)b^n+bc(a-b)(c-a)b^n-bc(c-a)(a-b)c^n\\ & =ca(a-b)(b-c)(c^n-a^n)+ab(c-a)(b-c)(a^n-b^n)+bc(a-b)(c-a)(b^n-c^n)\\ & =ca(a-b)(b-c)(c-a)\sum _{k=0}^{n-1}{c}^k{a}^{n-1-k}+ab(c-a)(b-c)(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}+bc(a-b)(c-a)(b-c)\sum _{k=0}^{n-1}{b}^k{c}^{n-1-k}\\ & =(a-b)(b-c)(c-a)(ca\sum _{k=0}^{n-1}{c}^k{a}^{n-1-k}+ab\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}+bc\sum _{k=0}^{n-1}{b}^k{c}^{n-1-k})\\ \end{array}$

 

Exercice 9-3

Supposons que l'on ait la relation :

$\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}$

Montrer que cette relation est toujours vraie après permutation simultanée de $a$ et $x$, de $b$ et $y$ ainsi que de $c$ et $z$.

Solution

En fait, nous devons montrer que :

$(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z})⟺(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c})$

Posons :

$r=\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}$

Nous en déduisons :

$\{\begin{array}{c}x=\frac{a^2-bc}{r}\\ y=\frac{b^2-ca}{r}\\ z=\frac{c^2-ab}{r}\end{array}$

Nous remarquons que permuter circulairement $a$, $b$ et $c$ revient à permuter circulairement $x$, $y$ et $z$

Nous avons alors :

$\begin{array}{cc}\frac{x^2-yz}{a}& =\frac{{\left(\frac{a^2-bc}{r}\right)}^2-\left(\frac{b^2-ca}{r}\right)\left(\frac{c^2-ab}{r}\right)}{a}\\ & =\frac{(a^2-bc{)}^2-(b^2-ca)(c^2-ab)}{a{r}^2}\\ & =\frac{a^4-2a^{2}bc+\cancel{b^2{c}^2}-\cancel{b^2{c}^2}+a{b}^3+a{c}^3-a^{2}bc}{a{r}^2}\\ & =\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{r^2}\\ \end{array}$

L'expression :

$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{r^2}$

étant invariante par permutation circulaire de $a$, $b$ et $c$, nous en déduisons :

$\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}$.

 

Exercice 9-4

Dans cet exercice, $a,b,c$ sont supposées être des constantes fixées et $x,y,z$ sont supposées être des variables.

Montrez que l'expression algébrique :

$\frac{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}{bc(y-z{)}^2+ca(z-x{)}^2+ab(x-y{)}^2}$

conserve la même valeur pour toutes les valeurs de $x,y,z$ qui annulent $ax+by+cz$.

Solution

Supposons $ax+by+cz=0$, alors :

$\begin{array}{cc}\frac{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}{bc(y-z{)}^2+ca(z-x{)}^2+ab(x-y{)}^2}& =\frac{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}{bc(y-z{)}^2+ca(z-x{)}^2+ab(x-y{)}^2+(ax+by+cz{)}^2}\\ & =\frac{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}{bc{y}^2-\cancel{2bcyz}+bc{z}^2+ca{z}^2-\cancel{2cazx}+ca{x}^2+ab{x}^2-\cancel{2abxy}+ab{y}^2+a^2{x}^2+b^2{y}^2+c^2{z}^2+\cancel{2abxy}+\cancel{2acxz}+\cancel{2bcyz}}\\ & =\frac{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}{a(a+b+c)x^2+b(a+b+c)y^2+c(a+b+c)z^2}\\ & =\frac{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}{(a+b+c)(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)}\\ & =\frac{1}{a+b+c}\end{array}$

Nous obtenons bien une expression indépendante de $x,y,z$.

 

Exercice 9-5

Démontrer les inégalités suivantes, pour $a,b,\lambda >0$ :

1. $2ab\le \frac{a^2}{{\lambda }^2}+{\lambda }^2{b}^2$ (utiliser $(A+B{)}^2\ge 0$) ;
2. $ab\le \frac{a^2}{{\lambda }^2}+\frac{{\lambda }^2{b}^2}{4}$ (utiliser 1.) ;
3. $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$ (utiliser 1.) ;
4. $a^3+b^3\ge a^{2}b+a{b}^2$.

Solution

1. $0\le {(\frac{a}{\lambda }-\lambda b)}^2=\frac{a^2}{{\lambda }^2}+{\lambda }^2{b}^2-2ab$.
2. D'après 1., $2a\frac{b}{2}\le \frac{a^2}{{\lambda }^2}+{\lambda }^2{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$.
3. $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-4=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-2$ or d'après 1., $2\times 1\times 1\le \frac{1^2}{\frac{a}{b}}+\frac{a}{b}{1}^2$.
4. D'après 1., $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\ge (a+b)ab=a^{2}b+a{b}^2$.