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Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens

Leçons de niveau 15
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Espaces hermitiens
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Exercices no1
Leçon : Espace préhilbertien complexe

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Espaces hermitiens
Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



On pose et l'on définit par :

.
  1. Démontrer qu'il existe une forme hermitienne telle que pour tout , .
  2. Donner la matrice de dans la base canonique.
  3. Déterminer une base orthonormale pour .

Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique hermitienne q sur E dans les cas suivants :

  1. et  ;
  2. et  ;
  3. et .

Soit le -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .

  1. Vérifier que définit un produit scalaire hermitien sur et que la base est orthonormée pour ce produit scalaire.
  2. Soit  ; calculer .
  3. On pose . Montrer que et étudier les cas d'égalité.
  1. L'ensemble des matrices hermitiennes est-il un sous--espace de  ?
  2. Démontrer que c'en est un sous--espace et calculer sa dimension.
  3. Démontrer que l'ensemble des matrices antihermitiennes, c'est-à-dire vérifiant , en est un supplémentaire.

Soit un espace hermitien et un endomorphisme de . On suppose que tout vecteur de est orthogonal à son image par .

  1. Démontrer que pour tous et de .
  2. En déduire que est l'endomorphisme nul.
  3. Que penser de l'énoncé analogue sur un espace euclidien ?

Dans muni de sa structure hermitienne standard et de sa base canonique, on note le plan d'équation .

  1. Déterminer l'orthogonal de .
  2. Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur dans la base canonique.
  3. Trouver une base orthogonale de .

Pour une matrice complexe , notons .

  1. Soit . Démontrer que est la matrice d'un produit scalaire réel.
  2. Que devient cet énoncé si  ?

Soit un espace hermitien de dimension .

  1. Soit un endomorphisme hermitien de .
    1. Montrer que les valeurs propres de sont réelles. On les notera dans la suite .
    2. Montrer que pour tout vecteur non nul de , .
    3. Trouver un tel que l'inégalité ci-dessus soit une égalité.
  2. Soit un endomorphisme quelconque de .
    1. Montrer que pour tout , .
    2. Montrer que l'endomorphisme de est hermitien positif. (Un endomorphisme hermitien est dit positif si toutes ses valeurs propres (réelles) sont positives.)
    3. En déduire que .
  3. Application à endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .

Soit une matrice unitaire de déterminant . Montrer qu'il existe tels que et .

  1. Soit . Trouver une matrice unitaire et une matrice diagonale telles que .
  2. Même question avec la matrice .
descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Décomposition polaire ».
  1. Soit une matrice hermitienne positive. Montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne positive telle que . On dit alors que est la racine carrée de .
  2. Soit . Montrer qu'il existe un unique couple de matrices , avec unitaire et hermitienne positive, tel que (on montrera que si un tel existe alors est la racine carrée de ).

Soient un espace hermitien et un endomorphisme normal de (c'est-à-dire ).

  1. Montrer que .
  2. En déduire que et .
  3. Que dire alors de et  ? En déduire que .
  4. Si est un autre endomorphisme normal de , montrer que si et seulement si .

Soit .

  1. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices hermitiennes tel que .
  2. Montrer que est normale si et seulement si .
  1. Trouver toutes les matrices réelles normales de taille 2.
  2. Dans , quel sous-espace vectoriel les matrices normales engendrent-elles ?

Soient un espace hermitien de dimension finie et des endomorphismes de .

  1. Pour tous polynômes tels que soit inversible, montrer que .
    Ceci justifie la notation pour cet endomorphisme.
    Exprimer alors les valeurs propres de en fonction de celles de .
  2. Soit . Montrer que si est inversible et alors est inversible et .
    En déduire que est inversible et est inversible et .
  3. Pour vérifiant les propriétés équivalentes de ci-dessus, montrer que les valeurs propres de sont réelles si et seulement si celles de sont de module 1.
  4. Pour vérifiant encore les propriétés équivalentes ci-dessus, montrer que est autoadjoint si et seulement si est unitaire.
  5. Montrer que si est autoadjoint alors est inversible.

Soient , et . Soit .

  1. Montrer que est hermitienne si et seulement si est symétrique, et que dans ce cas, est positive si et seulement si l'est et définie si et seulement si l'est.
  2. Montrer que est unitaire si et seulement si est orthogonale.

Soit (l'espace des polynômes à coefficients complexes de degré ). On définit sur le produit hermitien suivant : pour , avec et  : . Pour tout , on pose et .

  1. Donnez, pour , l'expression de et vérifiez que est unitaire.
  2. Déterminez (par exemple en donnant sa matrice dans la base canonique de ).
  3. On rappelle que pour tout , l'endomorphisme est hermitien et positif. Donnez une base propre pour . Déterminez la racine carrée de en explicitant la matrice de dans une base de votre choix.