Leçons de niveau 15

Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens

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Espaces hermitiens
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Exercices no1
Leçon : Espace préhilbertien complexe

Exercices de niveau 15.

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Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

On pose et l'on définit par :

.
  1. Démontrer qu'il existe une forme hermitienne telle que pour tout , .
  2. Donner la matrice de dans la base canonique.
  3. Déterminer une base orthonormale pour .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique hermitienne q sur E dans les cas suivants :

  1. et  ;
  2. et  ;
  3. et .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit le -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .

  1. Vérifier que définit un produit scalaire hermitien sur et que la base est orthonormée pour ce produit scalaire.
  2. Soit  ; calculer .
  3. On pose . Montrer que et étudier les cas d'égalité.

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. L'ensemble des matrices hermitiennes est-il un sous--espace de  ?
  2. Démontrer que c'en est un sous--espace et calculer sa dimension.
  3. Démontrer que l'ensemble des matrices antihermitiennes, c.-à-d. vérifiant , en est un supplémentaire.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace hermitien et un endomorphisme de . On suppose que tout vecteur de est orthogonal à son image par .

  1. Démontrer que pour tous et de .
  2. En déduire que est l'endomorphisme nul.
  3. Que penser de l'énoncé analogue sur un espace euclidien ?

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Dans muni de sa structure hermitienne standard et de sa base canonique, on note le plan d'équation .

  1. Déterminer l'orthogonal de .
  2. Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur dans la base canonique.
  3. Trouver une base orthogonale de .

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Pour une matrice complexe , notons .

  1. Soit . Démontrer que est la matrice d'un produit scalaire réel.
  2. Que devient cet énoncé si  ?

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace hermitien de dimension .

  1. Soit un endomorphisme hermitien de .
    1. Montrer que les valeurs propres de sont réelles. On les notera dans la suite .
    2. Montrer que pour tout vecteur non nul de , .
    3. Trouver un tel que l'inégalité ci-dessus soit une égalité.
  2. Soit un endomorphisme quelconque de .
    1. Montrer que pour tout , .
    2. Monter que l'endomorphisme de est hermitien positif. (Un endomorphisme hermitien est dit positif si toutes ses valeurs propres (réelles) sont positives.)
    3. En déduire que .
  3. Application à endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Soit une matrice unitaire de déterminant . Montrer qu'il existe tels que et .

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Trouver une matrice unitaire et une matrice diagonale telles que .
  2. Même question avec la matrice .

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Décomposition polaire ».
  1. Soit une matrice hermitienne positive. Montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne positive telle que . On dit alors que est la racine carrée de .
  2. Soit . Montrer qu'il existe un unique couple de matrices , avec unitaire et hermitienne positive, tel que (on montrera que si un tel existe alors est la racine carrée de ).

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace hermitien et un endomorphisme normal de (c.-à-d. ).

  1. Montrer que .
  2. En déduire que et .
  3. Que dire alors de et  ? En déduire que .
  4. Si est un autre endomorphisme normal de , montrer que si et seulement si .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices hermitiennes tel que .
  2. Montrer que est normale si et seulement si .

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

  1. Trouver toutes les matrices réelles normales de taille 2.
  2. Dans , quel sous-espace vectoriel les matrices normales engendrent-elles ?