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Espace préhilbertien complexe : Formes hermitiennes
Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout ce cours, E est un
-espace vectoriel.
Sesquilinéarité
Soit
.
- ƒ est dite linéaire à droite si
![{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723e7c41c94ed48729cb159331b790ffcee79e35)
- ƒ est dite semi-linéaire à gauche si
![{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(\lambda x+y,z)={\bar {\lambda }}f(x,z)+f(y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf41181d183b7f85bb2bb9b8cc281bfd2a437de)
Si ƒ est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, on dit que ƒ est une forme sesquilinéaire.
Symétrie hermitienne
Soit
On dit que ƒ est à symétrie hermitienne si
.
Forme hermitienne
Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
Soit ƒ une forme hermitienne sur E.
On définit l’application
par
.
q est appelée forme quadratique (hermitienne) associée à ƒ.
ƒ est appelée forme polaire associée à q.
Début de l'exemple
Exemple
ƒ est une forme hermitienne.
Sa forme quadratique associée est :
.
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Formules de polarisation
:
![{\displaystyle q(x+y)=q(x)+q(y)+2\Re (f(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ca79acccb9e98e6d91747ef92789cab5897b34)
![{\displaystyle q(x-y)=q(x)+q(y)-2\Re (f(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15912f9e7e391ff01d16900fa3f1702b7c7664d8)
![{\displaystyle q(x+iy)=q(x)+q(y)-2\Im (f(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1014d5d0902b77eff90a1ee4b7c5c713fc18cbbf)
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Identités du parallélogramme
Fin du théorème
On notera (ponctuellement) dans cette section :
l’ensemble des formes hermitiennes sur E.
l’ensemble des formes quadratiques associées.
|
n'est pas un espace vectoriel sur (sauf bien sûr si E est l'espace nul).
|
En effet, soient
une forme hermitienne non nulle sur E et
tel que
. On pose
.
Alors,
,
tandis que
.
Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.
Début d’un théorème
Théorème
La surjection
-linéaire
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\mathcal {H}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {QH}}(E)\\f&\mapsto &q\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c624e8faab1b33fbbba58a23cce0b593d853a37)
est injective (donc bijective).
Fin du théorème
Cette injectivité justifie l'appellation de forme polaire associée à une forme quadratique hermitienne.