Espace euclidien/Automorphismes orthogonaux

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Définition

On appelle endomorphisme orthogonal de E tout endomorphisme u qui conserve le produit scalaire :

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad (u(x)|u(y))=(x|y)$.

Remarques

• La condition ci-dessus équivaut à $\forall x\in E\quad \|u(x)\|=\|x\|$ donc les endomorphisme orthogonaux de E sont simplement ses isométries vectorielles.
• Le déterminant d'un endomorphisme orthogonal est égal à ±1. C'est donc un automorphisme.

Faites ces exercices : exercice 3-1, question 2.

Plan vectoriel euclidien

Soit $A\in \mathrm {O} _{2}(\mathbb {R} )$, c'est-à-dire $A\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )$ un automorphisme orthogonal de $\mathbb {R} ^{2}$. Les colonnes de $A$ forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc

$A={\begin{pmatrix}a&-\varepsilon b\\b&\varepsilon a\end{pmatrix}}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$ et $\varepsilon =\det A=\pm 1$.

La condition $a^{2}+b^{2}=1$ équivaut à l'existence d'un réel $\theta$ tel que $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$.

• Si $A\in \mathrm {SO} _{2}(\mathbb {R} )$ alors $A={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$, la rotation d'angle $\theta$.
• Sinon, $A={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \end{pmatrix}}$, la symétrie orthogonale d'axe dirigé par $(\cos(\theta /2),\sin(\theta /2))$.