Espace euclidien/Automorphismes orthogonaux

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Groupe orthogonal

Définitions et propriétés

Définition

On appelle isométrie de $E$ tout automorphisme $u$ qui conserve le produit scalaire. C'est-à-dire tel que pour tous $x$ et $y$ de $E$, $⟨u(x)\mid u(y)⟩=⟨x\mid y⟩$. Les isométries forment un sous-groupe $\mathrm{O}(E)$ de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ appelé groupe orthogonal.

Début de l'exemple

Exemple

Les seules homothéties qui sont des isométries sont ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

Fin de l'exemple

Proposition

Un élément $u$ de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ est une isométrie si, et seulement s'il conserve le produit scalaire. C'est-à-dire si on a pour tous $x$ de $E$, $\Vert u(x)\Vert =\Vert x\Vert$

Proposition

Soit $u$ dans $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ et $e_1,\dots ,e_n$ une base de $E$. L'application $u$ est une isométrie si, et seulement si pour tous $i$ et $j$, $⟨u(e_i)\mid u(e_j)⟩=⟨e_i\mid e_j⟩.$

Proposition

Une isométrie est de déterminant $1$ ou $-1$.

Faites ces exercices : exercice 3-1, question 2.

Cette proposition nous amène à la définition

Définition

Le sous-groupe de $\mathrm{O}(E)$ formé des isométries de déterminant $1$ s'appelle le groupe spécial orthogonal. Il est noté $\mathrm{S}\mathrm{O}(E)$.

Proposition

Le groupe $\mathrm{O}(E)$ est isomorphe au groupe des matrices orthogonales ${\mathrm{O}}_n(𝐑)=\{A\in {\mathrm{M}}_n(𝐑)\mid A^{T}A=I\}$.

Le groupe $\mathrm{S}\mathrm{O}(E)$ est isomorphe au groupe des matrices spéciales orthogonales ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_n(𝐑)=\{A\in {\mathrm{O}}_n(𝐑)\mid detA=1\}$.

Symétries orthogonales

Symétrie

Une symétrie est un élément $u$ de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ tel que $u^2={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

Proposition

Si $u$ est une symétrie, il existe deux sous-espaces $V$ et $W$ qui vérifient :

• $E=V\oplus W$
• $u_V={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$ et $u_W=-\mathrm{i}{\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}$.

Dans une certaine base de $E$, une symétrie $u$ a pour matrice $\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right)$ avec $p+q=n$.

Caractérisation des symétries orthogonales

Soit $u$ une symétrie et $V,W$ les sous-espaces associés. Alors $u$ est une isométrie si, et seulement si, $V$ et $W$ sont orthogonaux.

Réduction des isométries

Rotations planes

Soit $A\in {\mathrm{O}}_2(ℝ)$, c'est-à-dire $A\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)$ un automorphisme orthogonal de ${ℝ}^2$. Les colonnes de $A$ forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc

$A=\left(\begin{array}{cc}a& -\epsilon b\\ b& \epsilon a\end{array}\right)$ avec $a^2+b^2=1$ et $\epsilon =detA=\pm 1$.

La condition $a^2+b^2=1$ équivaut à l'existence d'un réel $\theta$ tel que $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$.

• Si $A\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(ℝ)$ alors $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, la rotation d'angle $\theta$.
• Sinon, $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$, la symétrie orthogonale d'axe dirigé par $(\cos (\theta /2),\sin (\theta /2))$.

Cas général

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u$ dans $\mathrm{O}(E)$ une isométrie. L'espace $E$ est somme directe orthogonale de sous-espaces stables par $u$, $E=V\perp W\perp P_1\perp \dots \perp P_r$. Avec $u_V={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$, $u_W=-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_W$ et où $P_i$ est de dimension deux et $u_{P_i}$ est une rotation plane distincte de $\pm {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{P_i}$.

Dans une base orthonormée convenable, $u$ a pour matrice

$\left(\begin{array}{ccccc}{I}_p& & & & (0)\\ & -I_q& & & \\ & & R_{{\theta }_1}& & \\ & & & \ddots & \\ (0)& & & & R_{{\theta }_r}\end{array}\right)$.

Avec $R_{{\theta }_i}=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_i& -\sin {\theta }_i\\ \sin {\theta }_i& \cos {\theta }_i\end{array}\right)$ pour un certain ${\theta }_i$ dans $[0,2\pi [$.

Fin du théorème