Espace euclidien/Automorphismes orthogonaux

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Groupe orthogonal

Définitions et propriétés

Définition

On appelle isométrie de $E$ tout automorphisme $u$ qui conserve le produit scalaire. C'est-à-dire tel que pour tous $x$ et $y$ de $E$, $\langle u(x)\mid u(y)\rangle =\langle x\mid y\rangle$. Les isométries forment un sous-groupe $\mathrm {O} (E)$ de $\mathrm {GL} (E)$ appelé groupe orthogonal.

Début de l'exemple

Exemple

Les seules homothéties qui sont des isométries sont $\mathrm {id} _{E}$ et $-\mathrm {id} _{E}$.

Fin de l'exemple

Proposition

Un élément $u$ de $\mathrm {GL} (E)$ est une isométrie si, et seulement s'il conserve le produit scalaire. C'est-à-dire si on a pour tous $x$ de $E$, $\|u(x)\|=\|x\|$

Proposition

Soit $u$ dans $\mathrm {GL} (E)$ et $e_{1},\dots ,e_{n}$ une base de $E$. L'application $u$ est une isométrie si, et seulement si pour tous $i$ et $j$, $\langle u(e_{i})\mid u(e_{j})\rangle =\langle e_{i}\mid e_{j}\rangle .$

Proposition

Une isométrie est de déterminant $1$ ou $-1$.

Faites ces exercices : exercice 3-1, question 2.

Cette proposition nous amène à la définition

Définition

Le sous-groupe de $\mathrm {O} (E)$ formé des isométries de déterminant $1$ s'appelle le groupe spécial orthogonal. Il est noté $\mathrm {SO} (E)$.

Proposition

Le groupe $\mathrm {O} (E)$ est isomorphe au groupe des matrices orthogonales $\mathrm {O} _{n}(\mathbf {R} )=\left\{A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbf {R} )\mid A^{T}A=I\right\}$.

Le groupe $\mathrm {SO} (E)$ est isomorphe au groupe des matrices spéciales orthogonales $\mathrm {SO} _{n}(\mathbf {R} )=\left\{A\in \mathrm {O} _{n}(\mathbf {R} )\mid \det A=1\right\}$.

Symétries orthogonales

Symétrie

Une symétrie est un élément $u$ de $\mathrm {GL} (E)$ tel que $u^{2}=\mathrm {id} _{E}$.

Proposition

Si $u$ est une symétrie, il existe deux sous-espaces $V$ et $W$ qui vérifient :

• $E=V\oplus W$
• $u_{V}=\mathrm {id} _{V}$ et $u_{W}=-\mathrm {id_{W}}$.

Dans une certaine base de $E$, une symétrie $u$ a pour matrice ${\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}$ avec $p+q=n$.

Caractérisation des symétries orthogonales

Soit $u$ une symétrie et $V,W$ les sous-espaces associés. Alors $u$ est une isométrie si, et seulement si, $V$ et $W$ sont orthogonaux.

Réduction des isométries

Rotations planes

Soit $A\in \mathrm {O} _{2}(\mathbb {R} )$, c'est-à-dire $A\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )$ un automorphisme orthogonal de $\mathbb {R} ^{2}$. Les colonnes de $A$ forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc

$A={\begin{pmatrix}a&-\varepsilon b\\b&\varepsilon a\end{pmatrix}}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$ et $\varepsilon =\det A=\pm 1$.

La condition $a^{2}+b^{2}=1$ équivaut à l'existence d'un réel $\theta$ tel que $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$.

• Si $A\in \mathrm {SO} _{2}(\mathbb {R} )$ alors $A={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$, la rotation d'angle $\theta$.
• Sinon, $A={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \end{pmatrix}}$, la symétrie orthogonale d'axe dirigé par $(\cos(\theta /2),\sin(\theta /2))$.

Cas général

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u$ dans $\mathrm {O} (E)$ une isométrie. L'espace $E$ est somme directe orthogonale de sous-espaces stables par $u$, $E=V\perp W\perp P_{1}\perp \dots \perp P_{r}$. Avec $u_{V}=\mathrm {id} _{V}$, $u_{W}=-\mathrm {id} _{W}$ et où $P_{i}$ est de dimension deux et $u_{P_{i}}$ est une rotation plane distincte de $\pm \mathrm {id} _{P_{i}}$.

Dans une base orthonormée convenable, $u$ a pour matrice

${\begin{pmatrix}I_{p}&&&&(0)\\&-I_{q}&&&\\&&R_{\theta _{1}}&&\\&&&\ddots &\\(0)&&&&R_{\theta _{r}}\end{pmatrix}}$.

Avec $R_{\theta _{i}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}$ pour un certain $\theta _{i}$ dans $[0,2\pi [$.

Fin du théorème