Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Exercice 1

Indiquer, parmi les ensembles $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {D}$, $\mathbb {Q}$ ou $\mathbb {R}$, le plus petit contenant le nombre proposé et le plus grand ne le contenant pas.

1. ${\frac {6}{11}}\in \dots$ mais ${\frac {6}{11}}\notin \dots$ ;
2. ${\sqrt {2}}\in \dots$ mais ${\sqrt {2}}\notin \dots$ ;
3. $-{\frac {135}{256}}\in \dots$ mais $-{\frac {135}{256}}\notin \dots$ ;
4. $-7\in \dots$ mais $-7\notin \dots$ ;
5. $3{,}1415\in \dots$ mais $3{,}1415\notin \dots$.

Solution

1. ${\frac {6}{11}}\in \mathbb {Q}$ mais ${\frac {6}{11}}\notin \mathbb {D}$ ;
2. ${\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ mais ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$ ;
3. $-{\frac {135}{256}}\in \mathbb {D}$ mais $-{\frac {135}{256}}\notin \mathbb {Z}$ ;
4. $-7\in \mathbb {Z}$ mais $-7\notin \mathbb {N}$ ;
5. $3{,}1415\in \mathbb {D}$ mais $3{,}1415\notin \mathbb {Z}$.

 

Exercice 2

Même question pour les nombres suivants :

1. ${\frac {6}{13}}\in \dots$ mais ${\frac {6}{13}}\notin \dots$ ;
2. $-{\sqrt {2}}\in \dots$ mais $-{\sqrt {2}}\notin \dots$ ;
3. $-{\frac {135}{128}}\in \dots$ mais $-{\frac {135}{128}}\notin \dots$ ;
4. $-9\in \dots$ mais $-9\notin \dots$ ;
5. $1{,}414\in \dots$ mais $1{,}414\notin \dots$.

Solution

Mêmes réponses (point par point).

 

Exercice 3

Soit le nombre réel $x=0{,}1214121412141214\dots$. Démontrer que $x\in \mathbb {Q}$ en comparant $10000x$ et $1214+x$.

Solution

$10000x=1214+x$ donc $x={\frac {1214}{9999}}$.

 

Exercice 4

Soit le nombre réel $x=0{,}321321321321321\dots$. Démontrer que $x\in \mathbb {Q}$ en comparant $1000x$ et $321+x$.

Solution

$1000x=321+x$ donc $x={\frac {321}{999}}$.