Leçons de niveau 15

Dynamique des fluides parfaits/Équations de Bernoulli

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Équations de Bernoulli
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Dynamique des fluides parfaits
Chap. préc. :Théorème de la quantité de mouvement -Euler
Chap. suiv. :Approche énergétique
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Dynamique des fluides parfaits : Équations de Bernoulli
Dynamique des fluides parfaits/Équations de Bernoulli
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On reprend l'équation d'Euler locale (PFD local pour un fluide parfait) :

Nous allons soumettre cette équation à quelques cas particuliers...

Pour une particule[modifier | modifier le wikicode]

Soit une particule de position de paramétrage : . Ainsi

Dans le cas d'un écoulement irrotationnel, le déplacement de n’importe quelles particules du fluide est en permanence parallèle à la direction globale de ce fluide : le produit vectoriel entre le déplacement et la vitesse est donc nul, ce qui implique :

Il restera donc de l'équation d'Euler locale :

Soit :

On peut aussi écrire cette expression sous cette forme :

Pour un fluide parfait compressible ou incompressible soumis à l'accélération de pesanteur g[modifier | modifier le wikicode]

On se donne un axe vertical orienté vers le haut tel que :

Mathématiquement, on peut écrire également :

Il vient finalement le théorème de Bernoulli généralisé valable pour un fluide parfait compressible ou incompressible lorsque l'axe vertical est orienté vers le haut :

On intègre l'équation le long d'une ligne de courant entre le point 1 et le point 2 :

Un écoulement est toujours irrotationnel le long d'une ligne de courant. Il faut retenir que l'équation de Bernoulli est valable pour tout écoulement irrotationnel, même si on ne suit pas une ligne de courant.

Pour un fluide parfait incompressible soumis à l'accélération de pesanteur g[modifier | modifier le wikicode]

La masse volumique du fluide est alors constante. L'expression précédente devient :

C'est le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait incompressible le long d'une ligne de courant.

Pour l'écoulement permanent d'un fluide parfait[modifier | modifier le wikicode]

Cette dernière formule est valable pour un fluide parfait incompressible dans un écoulement permanent le long d'une ligne de courant.

est la pression dynamique. est la pression motrice. est la pression totale d'arrêt.