Dynamique des fluides parfaits/Équations de Bernoulli

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On reprend l'équation d'Euler locale (PFD local pour un fluide parfait) :

$-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}}=\rho .{\overrightarrow {a}}$

$\rho [{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+0.5\nabla {\overrightarrow {v}}^{2}+({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {v}}]=\rho {\overrightarrow {g}}-{\overrightarrow {\nabla p}}$

Nous allons soumettre cette équation à quelques cas particuliers...

Pour une particule

Soit une particule de position ${\overrightarrow {r}}$ de paramétrage : ${\overrightarrow {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$. Ainsi ${\overrightarrow {d_{r}}}={\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}$

Dans le cas d'un écoulement irrotationnel, le déplacement de n’importe quelles particules du fluide est en permanence parallèle à la direction globale de ce fluide : le produit vectoriel entre le déplacement et la vitesse est donc nul, ce qui implique :

$({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {v}}=({\overrightarrow {\nabla }}{\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {v}}).({\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {dr}})=0$

Il restera donc de l'équation d'Euler locale :

$\rho [{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+0.5\nabla {\overrightarrow {v}}^{2}]=\rho {\overrightarrow {g}}-{\overrightarrow {\nabla p}}$

Soit :

${\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}.{\overrightarrow {d_{r}}}+0.5\nabla {\overrightarrow {v}}^{2}.{\overrightarrow {d_{r}}}={\overrightarrow {g}}.{\overrightarrow {d_{r}}}-{\frac {1}{\rho }}{\overrightarrow {\nabla p}}.{\overrightarrow {d_{r}}}$

On peut aussi écrire cette expression sous cette forme :

$(\rho {\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}).{\overrightarrow {d_{r}}}+\nabla (0.5\rho {\overrightarrow {v}}^{2}+p){\overrightarrow {d_{r}}}-\rho {\overrightarrow {g}}.{\overrightarrow {d_{r}}}=0$

Pour un fluide parfait compressible ou incompressible soumis à l'accélération de pesanteur g

On se donne un axe vertical orienté vers le haut tel que :

${\overrightarrow {g}}={\begin{pmatrix}0\\0\\-g\end{pmatrix}}$

Mathématiquement, on peut écrire également :

${\overrightarrow {g}}.{\overrightarrow {dr}}=-{\overrightarrow {\nabla }}(gz).{\overrightarrow {dr}}$

Il vient finalement le théorème de Bernoulli généralisé valable pour un fluide parfait compressible ou incompressible lorsque l'axe vertical est orienté vers le haut :

$(\rho {\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}).{\overrightarrow {d_{r}}}+\nabla (0.5\rho {\overrightarrow {v}}^{2}+p+\rho gz){\overrightarrow {d_{r}}}=0$

On intègre l'équation le long d'une ligne de courant entre le point 1 et le point 2 :

$\int _{1}^{2}(\rho {\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}).{\overrightarrow {d_{r}}}+\int _{1}^{2}\nabla (0.5\rho {\overrightarrow {v}}^{2}+p+\rho gz){\overrightarrow {d_{r}}}=0$

Un écoulement est toujours irrotationnel le long d'une ligne de courant. Il faut retenir que l'équation de Bernoulli est valable pour tout écoulement irrotationnel, même si on ne suit pas une ligne de courant.

Pour un fluide parfait incompressible soumis à l'accélération de pesanteur g

La masse volumique du fluide est alors constante. L'expression précédente devient :

$\int _{1}^{2}(\rho {\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}).{\overrightarrow {d_{r}}}+[0.5\rho {\overrightarrow {v}}^{2}+p+\rho gz){\overrightarrow {d_{r}}}]_{1}^{2}=0$

C'est le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait incompressible le long d'une ligne de courant.

Pour l'écoulement permanent d'un fluide parfait

${\frac {\partial v}{\partial t}}=0\Rightarrow [0.5\rho v^{2}+p+\rho gz){\overrightarrow {d_{r}}}]_{1}^{2}=0\Rightarrow 0.5\rho ({v_{2}}^{2}-{v_{1}}^{2})+(p_{2}-p_{1})+\rho g(z_{2}-z_{1})=0$

Cette dernière formule est valable pour un fluide parfait incompressible dans un écoulement permanent le long d'une ligne de courant.

$(0.5\rho v^{2})$ est la pression dynamique. $(p+\rho gz)$ est la pression motrice. $(0.5\rho v^{2}+p+\rho gz)$ est la pression totale d'arrêt.