Leçons de niveau 15

Dynamique des fluides parfaits/Théorème de la quantité de mouvement -Euler

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Théorème de la quantité de mouvement -Euler
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Chapitre no 1
Leçon : Dynamique des fluides parfaits
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Dynamique des fluides parfaits/Théorème de la quantité de mouvement -Euler
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Équation d'Euler[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe
Fin du principe

Forme locale[modifier | modifier le wikicode]

Lorsque le volume V de fluide, entouré d'une surface S, est soumis à son propre poids comme unique force volumique, on rappelle que la somme des forces extérieures (cf équation fondamentale de l'hydrostatique ) s'écrit sous la forme :

.

On applique le Principe Fondamental de la Dynamique :

.

La formule précédente concerne le volume total de fluide. Pour un élément de volume (volume de fluide infinitésimalement petit), il vient :

.

Que l’on peut aussi écrire, en utilisant la formule de l’accélération d'Euler :

.

Forme globale[modifier | modifier le wikicode]

Or, il s'agît de l'écoulement permanent: sa vitesse est constante dans toutes les sections perpendiculaires à l'écoulement (d'où le débit massique conservé):

Tube de courant[modifier | modifier le wikicode]

Le tube de courant est composé de trois surfaces Se, Ss et Sl, de trois vecteurs normaux ne, ns et nl et respectivement de trois vitesse Ve, Vs et Vl. Il est également composé d'un débit d'entrée et d'un débit de sortie . En reprenant la formule établie précédemment, il vient:

Or, il s'agit d'un fluide parfait: sa vitesse est constante dans toutes les sections perpendiculaires à l'écoulement. On peut donc sortir les vitesses des intégrales:

De plus, il s'agit d'un écoulement permament, donc:

Ce qui donne:

On rappelle que et , ce qui nous permet d'écrire:

Dans un écoulement permanent, le débit massique est conservé, on le note Qm:

Vous venez d’établir l'équation d'Euler dans le cas de l'écoulement permanent d'un fluide parfait.