Droites et plans de l'espace/Droites et plans de l'espace euclidien
Dans ce dernier chapitre, on suppose que :
- l'espace (de dimension 3) est euclidien, c'est-à-dire que son espace vectoriel sous-jacent est muni d'un d'un produit scalaire donc d'une notion d'orthogonalité ;
- le repère est orthonormé, c'est-à-dire que ses trois vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux : et .
Le produit scalaire s'exprime alors simplement en fonction des coordonnées :
- .
Plan défini par un point et vecteur normal
[modifier | modifier le wikicode]De même qu'une droite du plan euclidien, un plan du 3-espace euclidien est de codimension 1 donc peut être défini par un point et un vecteur normal :
Pour tout point et tout vecteur non nul , l'ensemble des points de l'espace tels que est un plan.
Réciproquement, pour tout plan de l'espace, il existe un vecteur et un point tels que
- .
Si et ,
- .
- Le point peut être choisi arbitrairement dans .
- Les coordonnées du vecteur sont les coefficients d'une équation de donc :
- est unique à proportionnalité près ;
- deux plans sont parallèles si et seulement s'ils ont mêmes vecteurs normaux.
- Nous avons vu au chapitre 3 comment, pour un plan, passer d'une équation cartésienne à un (bi-)paramétrage, et inversement. Dans ce nouveau langage, cela revient, mise à part la donnée d'un point de , à passer d'un vecteur non nul à deux vecteurs non colinéaires orthogonaux à , et inversement.
Droite passant par un point et orthogonale à deux vecteurs
[modifier | modifier le wikicode]Puisque toute droite est définie par deux équations indépendantes et inversement, on en déduit immédiatement :
Pour tout point et tous vecteurs non colinéaires , l'ensemble des points de l'espace tels que soit orthogonal à et est une droite.
Réciproquement, pour toute droite de l'espace, il existe deux vecteurs et un point tels que
- .