Dérivation/Opérations entre fonctions

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La plupart des fonctions courantes peuvent être obtenues comme somme, produit, quotient et composée des fonctions de référence. Dans ce chapitre nous allons donc étudier comment dériver une somme de fonctions, un produit de fonctions, un quotient de fonctions et une composée de fonctions. Grâce à cela, il deviendra possible de calculer la plupart des dérivées sans utiliser la formule de définition d'une fonction dérivée.

Dérivée d'une somme de fonctions

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. On définit la somme $f+g$ de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel $x$ de I, on a :

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.

Calculons alors la dérivée de $f+g$ au point $x$. L'expression

${\frac {(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}}={\frac {f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}$

a une limite quand $h\to 0$ et

$(f+g)'(x)=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=f'(x)+g'(x)=(f'+g')(x)$.

La relation étant valable pour tout $x$ de $I$, nous aurons :

$(f+g)'=f'+g'$.

Dérivée d'un produit de fonctions

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. On définit le produit $fg$ de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel $x$ de $I$, on a :

$(fg)(x)=f(x)\times g(x)$.

Calculons alors la dérivée de $fg$ au point $x$. L'expression

${\begin{aligned}{\frac {(fg)(x+h)-(fg)(x)}{h}}&={\frac {f(x+h)\times g(x+h)-f(x)\times g(x)}{h}}\\&={\frac {f(x+h)\times g(x+h)-f(x)\times g(x+h)+f(x)\times g(x+h)-f(x)\times g(x)}{h}}\\&={\frac {(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}}\\&={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\times g(x+h)+f(x)\times {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\end{aligned}}$

a une limite quand $h\to 0$ et

${\begin{aligned}(fg)'(x)&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\times g(x+h)+f(x)\times {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]\\&=f'(x)\times g(x)+f(x)\times g'(x)\\&=f'g(x)+fg'(x)\\&=(f'g+fg')(x).\end{aligned}}$

La relation étant valable pour tout $x$ de $I$, nous aurons :

$(fg)'=f'g+fg'$.

Dérivée d'un quotient de fonctions

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. On suppose que $g$ ne s'annule pas. On définit le quotient ${\frac {f}{g}}$ de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel $x$ de $I$, on a :

$\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$.

Calculons alors la dérivée de ${\frac {f}{g}}$ au point $x$. L'expression

${\begin{aligned}{\frac {\left({\frac {f}{g}}\right)(x+h)-\left({\frac {f}{g}}\right)(x)}{h}}&={\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}\\&={\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}}\\&={\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}}\\&={\frac {(f(x+h)-f(x))g(x)-f(x)(g(x+h)-g(x))}{hg(x+h)g(x)}}\\&={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}g(x)-f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x+h)g(x)}}\end{aligned}}$

a une limite quand $h\to 0$ et

${\begin{aligned}\left({\frac {f}{g}}\right)'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}g(x)-f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x+h)g(x)}}\\&={\frac {f'(x)\times g(x)-f(x)\times g'(x)}{g(x)g(x)}}\\&={\frac {f'g(x)-fg'(x)}{gg(x)}}\\&={\frac {(f'g-fg')(x)}{g^{2}(x)}}\\&=\left({\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\right)(x).\end{aligned}}$

La relation étant valable pour tout $x$ de $I$, nous aurons :

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$.

Dérivée d'une composée de fonctions

Cette section est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $\left]a,b\right[$.

Soit $f$ une deuxième fonction.

Soit $x$ de $\left]a,b\right[$ vérifiant les deux conditions :

• $g(x)$ appartient à un intervalle $\left]c,d\right[$ tel que pour tout autre point $y$ de $\left]c,d\right[$ on ait $g(y)\neq g(x)\quad$ (1).
• $f$ dérivable en $g(x)$.

On rappelle que la composée $f\circ g$ des deux fonctions est définie par :

$f\circ g(x)=f[g(x)]$.

Calculons alors la dérivée de $f\circ g$ au point $x$.

${\begin{aligned}{\frac {f\circ g(x+h)-f\circ g(x)}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f[g(x+h)]-f[g(x)]}{h}}\\&={\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\times {\frac {f[g(x+h)]-f[g(x)]}{g(x+h)-g(x)}}\\&={\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\times {\frac {f[g(x+h)]-f[g(x)]}{g(x+h)-g(x)}}.\end{aligned}}$

Posons alors $\mu =g(x+h)-g(x)\quad \Leftrightarrow \quad g(x+h)=g(x)+\mu$.

Nous voyons que lorsque $h$ tend vers $0$, $\mu$ tend aussi vers $0$.

Nous pouvons donc continuer le calcul ainsi :

${\begin{aligned}(f\circ g)'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\times \lim _{h\to 0}{\frac {f[g(x+h)]-f[g(x)]}{g(x+h)-g(x)}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\times \lim _{\mu \to 0}{\frac {f[g(x)+\mu ]-f[g(x)]}{\mu }}\\&=g'(x)\times f'[g(x)]\\&=g'(x)\times f'\circ g(x)\\&=[(f'\circ g)g'](x).\end{aligned}}$

La relation étant valable pour tout $x$ vérifiant les conditions fixées dans ce paragraphe, nous aurons :

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

Nous admettrons que cette relation est toujours vraie même si la condition (1) n'est pas satisfaite. Le lecteur ne sera donc pas tenu de vérifier que la condition (1) est satisfaite.

Note La condition : $g(x)$ appartient à un intervalle $\left]c,d\right[$ tel que pour tout autre point $y$ de $\left]c,d\right[$ on ait $g(y)\neq g(x)$ permet d'assurer que l'expression $g(x+h)-g(x)$, apparaissant dans un dénominateur de la démonstration ci-dessus, ne s'annule pas pour des valeurs de $h$ lorsque l'on fait tendre $h$ vers $0$. Si cette condition n'est pas remplie, la conclusion $(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$ est toujours valable mais la démonstration dans ce cas est beaucoup trop compliquée pour être présentée à ce niveau. Les fonctions ne vérifiant pas cette condition sont toutefois extrêmement rares. On peut toutefois citer la fonction $g$ définie par : $g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{sinon }}\end{cases}}$ où le lecteur pourra vérifier à titre d'exercice que la condition n'est pas vérifiée en $0$ bien que la fonction soit dérivable en $0$.