Leçons de niveau 12

Dérivation/Opérations entre fonctions

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Opérations entre fonctions
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Chapitre no 3
Leçon : Dérivation
Chap. préc. :Fonction dérivée
Chap. suiv. :Sens de variation
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Dérivation/Opérations entre fonctions
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La plupart des fonctions courantes peuvent être obtenues comme somme, produit, quotient et composée des fonctions de référence. Dans ce chapitre nous allons donc étudier comment dériver une somme de fonction, un produit de fonction, un quotient de fonction et une composée de fonctions. Grâce à cela, il deviendra possible de calculer la plupart des dérivées sans utiliser la formule de définition d'une fonction dérivée.

Dérivée d'une somme de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On définit la somme de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel de , on a :

.

Calculons alors la dérivée de au point . L'expression

a une limite quand et

.

La relation étant valable pour tout de , nous aurons :

.


Dérivée d'un produit de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On définit le produit de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel de , on a :

.

Calculons alors la dérivée de au point . L'expression

a une limite quand et

La relation étant valable pour tout de , nous aurons :

.


Dérivée d'un quotient de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On suppose que ne s'annule pas. On définit le quotient de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel de , on a :

.

Calculons alors la dérivée de au point . L'expression

a une limite quand et

La relation étant valable pour tout de , nous aurons :

.


Dérivée d'une composée de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Panneau d’avertissement Cette section est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

Soit une deuxième fonction.

Soit de vérifiant les deux conditions :

  • appartient à un intervalle tel que pour tout autre point de on ait (1).
  • dérivable en .

On rappelle que la composée des deux fonctions est définie par :

.

Calculons alors la dérivée de au point .

Posons alors .

Nous voyons que lorsque tend vers , tend aussi vers .

Nous pouvons donc continuer le calcul ainsi :

La relation étant valable pour tout vérifiant les conditions fixées dans ce paragraphe, nous aurons :


Nous admettrons que cette relation est toujours vraie même si la condition (1) n'est pas satisfaite. Le lecteur ne sera donc pas tenu de vérifier que la condition (1) est satisfaite.

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Note La condition : appartient à un intervalle tel que pour tout autre point de on ait permet d'assurer que l'expression , apparaissant dans un dénominateur de la démonstration ci-dessus, ne s'annule pas pour des valeurs de lorsque l'on fait tendre vers .

Si cette condition n'est pas remplie, la conclusion est toujours valable mais la démonstration dans ce cas est beaucoup trop compliquée pour être présentée à ce niveau.

Les fonctions ne vérifiant pas cette condition sont toutefois extrêmement rares. On peut toutefois citer la fonction définie par :

où le lecteur pourra vérifier à titre d'exercice que la condition n'est pas vérifiée en bien que la fonction soit dérivable en .