Leçons de niveau 12

Dérivation/Fonction dérivée

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Fonction dérivée
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Chapitre no 2
Leçon : Dérivation
Chap. préc. :Nombre dérivé
Chap. suiv. :Opérations entre fonctions
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Dérivation/Fonction dérivée
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Dans ce chapitre nous définirons la dérivée d'une fonction à étudier qui jouera un rôle important dans l'étude du sens de variation de la fonction consernée. Nous établirons ensuite les dérivées des fonctions de référence.

Définition de la fonction dérivée[modifier | modifier le wikicode]

Nous poserons simplement la définition suivante :


Le nombre dérivée n'étant pas nécessairement défini pour tout point, nous voyons que le domaine de définition de la fonction dérivée n'est pas forcément égal au domaine de définition de .

Nous désignerons le domaine de définition de par l'expression domaine de dérivabilité.


Dérivées des fonctions de référence[modifier | modifier le wikicode]

Fonction constante[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

étant un réel donné.

Nous avons alors :


Fonction identité[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

Nous avons alors :


Fonction carré[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

Nous avons alors :


Fonction cube[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

Nous avons alors :


Fonction inverse[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

Nous avons alors :


Fonction racine carré[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

Nous avons alors :


Fonction puissance[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie par :

Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous aurons besoin de l'identité remarquable :

Pour établir cette identité, il nous suffit de développer le second membre :

Si est différent de , on peut alors écrire :

En se basant sur les puissances, nous voyons qu'il y a termes dans le second membre.

En posant et , nous obtenons :

Nous avons alors :


Dérivée successives[modifier | modifier le wikicode]

Comme nous le verrons plus loin, la fonction dérivée nous facilite l'étude de la fonction . Mais nous pouvons aussi être amenés à étudier la fonction dérivée elle-même. Et pour facilité cette étude, nous utiliserons la dérivée de la fonction dérivée. Nous donnerons donc la définition suivante :


Nous pouvons ainsi dérivée successivement et autant de fois que nécessaire les dérivées successives d'une fonction :

est la dérivée de

est la dérivée de

est la dérivée de

est la dérivée de


Dérivée et continuité[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons le théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème