Dérivation/Exercices/Applications diverses

Exercice 5-1

Prouver que le point de contact d'une tangente à la courbe d'équation $y={\frac {1}{x}}$ est le milieu du segment de tangente compris entre les axes de coordonnées.

Solution

La tangente au point $\left(x_{0},y_{0}={\frac {1}{x_{0}}}\right)$ a pour équation $y-y_{0}=-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}\left(x-x_{0}\right)$ donc ses intersections avec les axes de coordonnées sont $\left(x_{0}^{2}y_{0}+x_{0},0\right)=\left(2x_{0},0\right)$ et $\left(0,y_{0}+{\frac {1}{x_{0}}}\right)=\left(0,2y_{0}\right)$, de milieu $\left(x_{0},y_{0}\right)$.

 

Exercice 5-2

L'ordonnée d'un point décrivant le cercle d'équation $x^{2}+y^{2}=25$ cm² décroît à la vitesse de 1,5 cm/s.

Trouver la vitesse de variation de l'abscisse de ce point lorsque l'ordonnée est égale à 4 cm.

Solution

$xx'+yy'=0$ donc $\left|x'\right|=\left|y'{\frac {y}{x}}\right|=\left|y'{\frac {y}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\right|=1{,}5\,{\frac {4}{\sqrt {25-4^{2}}}}=2$ cm/s.

 

Exercice 5-3

Le côté d'un carré croît à une vitesse $v$. Trouver la vitesse de variation du périmètre et de l’aire de ce carré lorsque son côté est égal à $a$.

Solution

Si $a'=v$, alors $\left(4a\right)'=4v$ et $\left(a^{2}\right)'=2av$.

 

Exercice 5-4

Soit $v$ la vitesse de variation du rayon d'un cercle. Trouver la vitesse de variation de la circonférence et de l’aire de ce cercle lorsque son rayon est égal à $r$.

Solution

Si $r'=v$, alors $\left(2\pi r\right)'=2\pi v$ et $\left(\pi r^{2}\right)'=2\pi rv$.

 

Exercice 5-5

Sachant que le volume d'un tronc d'arbre est proportionnel au cube de son diamètre et que ce diamètre augmente à vitesse constante, montrer que la vitesse de croissance du volume sera 25 fois supérieure, lorsque son diamètre atteindra 90 cm, à celle quand son diamètre était de 18 cm.

Solution

$V=Kd^{3}$ donc $V'=3Kd^{2}d'$ donc ${\frac {V'_{2}}{V'_{1}}}={\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}}}={\frac {90^{2}}{18^{2}}}=25$.

 

Exercice 5-6

Pour descendre à terre une poutre de 13 m de long, on fait reposer sa base sur un wagonnet, et on la retient à son sommet par une corde enroulée autour d'un treuil.

La corde s'enroule à une vitesse de 2 m/min.

Calculer l'accélération du wagonnet au moment où il se trouve à 5 m de la verticale du treuil.

Solution

$x^{2}+y^{2}=L^{2}$ et $y'=v$ donc $xx'+yv=0$ et $xx''+x'^{2}+v^{2}=0$, donc $\left|x''\right|={\frac {x'^{2}+v^{2}}{\left|x\right|}}={\frac {v^{2}}{\left|x\right|}}\left({\frac {y^{2}}{x^{2}}}+1\right)={\frac {L^{2}v^{2}}{\left|x\right|^{3}}}={\frac {26^{2}}{5^{3}}}=5{,}408$ m/min².