Conservation de la masse et équation de continuité/Conséquence de l'équation de continuité

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Nous allons appliquer ces équations pour des écoulements particuliers: les écoulements permanents et les écoulements incompressibles.

Cas d'un écoulement permanent

On rappelle qu'un écoulement permanent est un écoulement dont les variables d'Euler ne dépendent pas du temps. Les expressions des équations de continuité vont donc être simplifiées (on donne ci-dessous la forme locale simplifiée, puis la forme globale simplifiée).

${\frac {\partial {\rho }}{\partial t}}=0\Leftrightarrow \mathrm {div} (\rho {\overrightarrow {v}})=0\Leftrightarrow \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\rho ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=0$

Soit un tube de courant dans lequel il y a un écoulement permanent. Le tube de courant ne change pas dans le temps. L'équation de continuité globale simplifiée permet d'écrire :

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\rho ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {n}}\,\mathrm {d} S=\underbrace {\int \!\!\!\!\!\int _{S_{1}}\rho ~{\overrightarrow {v_{1}}}\cdot {\overrightarrow {n_{1}}}\,\mathrm {d} S} _{\text{Entrée}}+\underbrace {\int \!\!\!\!\!\int _{S_{L}}\rho ~{\overrightarrow {v_{L}}}\cdot {\overrightarrow {n_{L}}}\,\mathrm {d} S} _{\text{Surfaces latérales}}+\underbrace {\int \!\!\!\!\!\int _{S_{2}}\rho ~{\overrightarrow {v_{2}}}\cdot {\overrightarrow {n_{2}}}\,\mathrm {d} S} _{\text{Sortie}}=0$.

Par définition, sur les surfaces latérales du tube de courant, la vitesse est perpendiculaire à la normale ${\overrightarrow {v_{L}}}\cdot {\overrightarrow {n_{L}}}=0$ : il n'y a pas de flux qui traverse cette surface. Il vient finalement :

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\rho ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {n}}\,\mathrm {d} S=\int \!\!\!\!\!\int _{S_{1}}\rho ~{\overrightarrow {v_{1}}}\cdot {\overrightarrow {n_{1}}}\,\mathrm {d} S+\int \!\!\!\!\!\int _{S_{2}}\rho ~{\overrightarrow {v_{2}}}\cdot {\overrightarrow {n_{2}}}\,\mathrm {d} S=0\Rightarrow q_{m_{\text{entrée}}}=q_{m_{\text{sortie}}}$

Dans un écoulement permanent, il y a conservation du débit massique au sens où débit massique est constant sur toutes les sections d'un tube de courant.

Écoulement incompressible

Un écoulement incompressible est un écoulement dont le fluide possède une masse volumique constante aussi bien dans le temps que dans l'espace : $\rho =\mathrm {cte} \Leftrightarrow \mathrm {d} \rho =0$. Les expressions des équations de continuité vont donc être simplifiées (on donne ci-dessous la forme locale simplifiée, puis la forme globale simplifiée). On a à la fois

${\frac {\mathrm {d} {\rho }}{\mathrm {d} t}}=0$ et ${\frac {\partial {\rho }}{\partial t}}=0$,

ce qui implique que

$\mathrm {div} (\rho ~{\overrightarrow {v}})=\rho ~\mathrm {div} ({\overrightarrow {v}})=0$,

mais également

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\rho ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=\rho \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=0\Leftrightarrow \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=0$.

En suivant le même raisonnement que dans le paragraphe précédent, on obtient pour un écoulement incompressible :

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {n}}\,\mathrm {d} S=\int \!\!\!\!\!\int _{S_{1}}{\overrightarrow {v_{1}}}\cdot {\overrightarrow {n_{1}}}\,\mathrm {d} S+\int \!\!\!\!\!\int _{S_{2}}{\overrightarrow {v_{2}}}\cdot {\overrightarrow {n_{2}}}\,\mathrm {d} S=0\Rightarrow q_{V_{\text{entrée}}}=q_{V_{\text{sortie}}}$.

Dans un écoulement incompressible permanent, il y a conservation du débit volumique au sens où débit volumique est constant sur toutes les sections d'un tube de courant..