Conduction thermique/Généralités sur la conduction

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Définition

Conduction thermique

La conduction thermique, ou diffusion thermique, est un transport d'énergie sans transport de matière à travers un milieu matériel.

Ce transport s’effectue de proche en proche, via l'échange d'énergie entre molécules voisines. On rencontre de la conduction principalement dans les solides.

Par exemple, le transfert de chaleur entre deux pièces via un mur.

Étude

On étudie les transferts d'énergie dans un système qui n'est initialement pas à l'équilibre thermodynamique, sans quoi la question de diffusion thermique n'aurait pas lieu. Comme dans les autres problèmes physiques traitant d'énergie, nous voulons définir une équation de conservation de l'énergie.

Axiome de l'équilibre thermodynamique local

Début d'un axiome

Axiome

On fait l'hypothèse que le système peut être décrit localement comme s'il était à l'état d'équilibre.

On peut donc à chaque instant associer à tout point du système des grandeurs intensives qui sont uniformes à l'échelle mésoscopique mais variables à l'échelle macroscopique.

Définition des grandeurs

La première grandeur à introduire doit décrire l'énergie "stockée" dans le matériau au point P :

Énergie interne

On définit la densité volumique d'énergie interne u(P, t) comme l'énergie interne contenue dans un petit volume centré en P en J/m³

La seconde valeur à introduire doit décrire les "déplacements" d'énergie :

Vecteur densité de flux thermique

Aussi nommé vecteur densité volumique de courant d'énergie interne, ${\vec {j}}_{Q}$ et défini par

son flux $d\phi$ à travers un élément de surface ${\vec {dS}}$, tel que

$d\phi ={\vec {j}}_{Q}.{\vec {dS}}$

(${\vec {j}}_{Q}$ est en W/m²)

La troisième valeur à prendre en compte doit traduire la création ou l’absorption d'énergie interne. (À l'aide d'un mécanisme biologique, ou nucléaire, par exemple)

Puissance volumique créée

La grandeur σ(P, t) est la puissance volumique créée en P

• Elle est positive dans le cas de création d'énergie.
• Elle est négative dans le cas d'absorption d'énergie.

(S'exprime en W/m³)

Équation de continuité

Durant une durée dt, la variation d'énergie interne est égale à l'énergie interne créée et échangée :

$dU=\delta U_{\text{créée}}+\delta U_{\text{échangée}}$

On a :

${\frac {dU}{dt}}=\iiint _{V}{\frac {du(P,t)}{dt}}d\tau$

${\frac {\delta U_{\text{créée}}}{dt}}=\iiint _{V}\sigma (P,t)d\tau$

${\frac {\delta U_{\text{échangée}}}{dt}}=\oint \oint _{\Sigma }{\vec {j}}_{Q}.{\vec {dS}}$

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient :

${\vec {div}}({\vec {j}}_{Q})+{\frac {\partial u(P,t)}{\partial t}}=\sigma (P,t)$

Remarque : Les personnes ayant déjà suivit un cours sur l'électromagnétisme pourront faire le rapprochement avec l'équation de conservation de la charge.

Remarque 2 : Dans le cadre du programme de prépa MP, on suppose toujours σ = 0.