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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Conduction thermique : Conduction stationnaire Conduction thermique/Conduction stationnaire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un régime stationnaire signifie que les grandeurs macroscopiques ne varient plus dans le temps, on a donc
∂
T
∂
t
=
0
{\displaystyle {\partial T \over \partial t}=0}
.
Ainsi l'équation de la chaleur se réécrit
0
=
λ
c
v
ρ
∇
→
2
T
+
p
c
v
ρ
{\displaystyle 0={\lambda \over c_{v}\rho }{\vec {\nabla }}^{2}T+{p \over c_{v}\rho }}
ou encore
0
=
λ
∇
→
2
T
+
p
{\displaystyle 0=\lambda {\vec {\nabla }}^{2}T+p}
ou
0
=
∇
→
2
T
+
p
λ
{\displaystyle 0={\vec {\nabla }}^{2}T+{p \over \lambda }}
L'équation se simplifie en :
0
=
∂
2
T
∂
x
2
+
p
λ
{\displaystyle 0={\partial ^{2}T \over \partial x^{2}}+{p \over \lambda }}
On peut alors la résoudre , assez facilement dans un grand nombre de cas, en intégrant 2 fois.
Par exemple si p est constant,
T
(
x
)
=
−
p
2
λ
x
2
+
A
x
+
B
{\displaystyle T(x)=-{p \over 2\lambda }x^{2}+Ax+B}
où A et B sont deux constantes dépendant des températures aux bords.
Cas où les conditions aux bords ne sont pas des températures [ modifier | modifier le wikicode ]
Si par exemple on considère une fenêtre, on peut modéliser la convection thermique par la loi de Newton:
j
t
h
=
h
(
T
−
T
e
x
t
)
{\displaystyle j_{th}=h(T-T_{ext})}
avec
T
e
x
t
{\displaystyle T_{ext}}
et h des constantes
Par la continuité de
j
t
h
{\displaystyle j_{th}}
en
x
0
{\displaystyle x_{0}}
,
−
λ
∂
T
∂
x
(
x
0
)
=
h
(
T
(
x
0
)
−
T
e
x
t
)
{\displaystyle -\lambda {\partial T \over \partial x}(x_{0})=h(T(x_{0})-T_{ext})}
Si on prend le cas précédent avec p nul,
T
(
x
)
=
A
x
+
B
{\displaystyle T(x)=Ax+B}
Et donc
−
λ
A
=
h
(
T
(
x
0
)
−
T
e
x
t
)
{\displaystyle -\lambda A=h(T(x_{0})-T_{ext})}
D'où
A
=
−
h
(
T
(
x
0
)
−
T
e
x
t
)
λ
{\displaystyle A=-{h(T(x_{0})-T_{ext}) \over \lambda }}
et B se déterminant grâce à l'autre condition au bord on prendra
B
=
T
0
=
T
(
0
)
{\displaystyle B=T_{0}=T(0)}
.
Ainsi
T
(
x
)
=
−
h
(
T
(
x
0
)
−
T
e
x
t
)
λ
x
+
T
0
{\displaystyle T(x)=-{h(T(x_{0})-T_{ext}) \over \lambda }x+T_{0}}
Enfin on évalue en
x
0
{\displaystyle x_{0}}
,
T
(
x
0
)
=
−
h
(
T
(
x
0
)
−
T
e
x
t
)
λ
x
0
+
T
0
{\displaystyle T(x_{0})=-{h(T(x_{0})-T_{ext}) \over \lambda }x_{0}+T_{0}}
d'où
T
(
x
0
)
(
1
+
h
λ
x
0
)
=
−
h
λ
T
e
x
t
∗
x
0
+
T
0
{\displaystyle T(x_{0})(1+{h \over \lambda }x_{0})=-{h \over \lambda }T_{ext}*x_{0}+T_{0}}
Finalement
T
(
x
0
)
=
(
h
λ
T
e
x
t
∗
x
0
+
T
0
)
∗
1
1
+
h
λ
x
0
{\displaystyle T(x_{0})=({h \over \lambda }T_{ext}*x_{0}+T_{0})*{1 \over 1+{h \over \lambda }x_{0}}}
En réinjectant dans l'expression de la température, on trouve l'expression finale.