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Conduction thermique/Équation de la chaleur

Leçons de niveau 15
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Équation de la chaleur
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Chapitre no 4
Leçon : Conduction thermique
Chap. préc. :Ordres de grandeur
Chap. suiv. :Conduction stationnaire
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Conduction thermique/Équation de la chaleur
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Équation de la chaleur[modifier | modifier le wikicode]

L'équation de la chaleur s'écrit en toute généralité :

  • T est la température ;
  • λ est la conductivité thermique ;
  • cv est la capacité thermique massique à volume constant ;
  • ρ est la masse volumique ;
  • est nabla et est le laplacien ;
  • p est la puissance volumique dégagée (par exemple dans le cas d'un résistor, p est la puissance dissipée par effet Joule).

Démonstration à une dimension[modifier | modifier le wikicode]

Élément infinitésimal à une dimension
Élément infinitésimal à une dimension

On applique le premier principe à un petit élément de longueur , en considérant que les échanges thermiques :

est l'énergie dégagée pendant un temps

Dans le cas d'une phase condensée (on écrit alors que cv = c = cp) ou un gaz parfait :

Donc par définition de j, densité de flux thermique

où S est la surface.

Par définition de la différentielle et par simplification par

Par définition de la masse volumique et du petit volume considéré

De plus la loi de Fourier donne , où est le gradient de la température qui sécrit en une dimension :

Finalement, en notant l'énergie volumique dégagée pendant un temps  :

On peut alors généraliser de la même façon à trois dimensions.