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Changement de variable en calcul intégral : Formule fondamentale du changement de variable Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce premier chapitre énonce le théorème fondamental du changement de variable en calcul intégral. Nous verrons les modalités d'application de ce théorème dans les chapitres suivants.
Début d’un théorème
Théorème
Soient
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
Φ
∈
C
1
(
I
,
R
)
{\displaystyle \Phi \in C^{1}(I,\mathbb {R} )}
Φ
(
I
)
⊂
J
{\displaystyle \Phi (I)\subset J}
f
∈
C
0
(
J
,
R
)
{\displaystyle f\in C^{0}(J,\mathbb {R} )}
Alors :
∀
α
,
β
∈
I
∀
Φ
(
α
)
,
Φ
(
β
)
∈
J
∫
α
β
f
(
Φ
(
t
)
)
Φ
′
(
t
)
d
t
=
∫
Φ
(
α
)
Φ
(
β
)
f
(
s
)
d
s
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\forall \alpha ,\beta \in I\\\forall \Phi (\alpha ),\Phi (\beta )\in J\end{array}}\qquad \int _{\alpha }^{\beta }f\left(\Phi (t)\right)\Phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\Phi (\alpha )}^{\Phi (\beta )}f(s)\,\mathrm {d} s}
Avec :
s
=
Φ
(
t
)
{\displaystyle s=\Phi (t)}
d
s
=
Φ
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle ds=\Phi '(t)dt}
Fin du théorème
Démonstration, voir wikipedia, intégration par changement de variable .
Nous allons, dans les prochains chapitres, passer en revue les principaux changements de variable que l’on peut être amené à effectuer.
Tous les changements de variable envisagés, dans les exemples, vérifient
Φ
(
I
)
⊂
J
{\displaystyle \Phi (I)\subset J}
Remarque
La condition
Φ
(
I
)
⊂
J
{\displaystyle \Phi (I)\subset J}
est indispensable .
Par exemple, en effectuant le changement de variable
s
=
Φ
(
t
)
=
sin
(
t
)
{\displaystyle s=\Phi (t)=\sin(t)}
∫
π
3
2
π
3
t
sin
(
t
)
d
t
=
∫
3
2
3
2
arcsin
(
s
)
s
1
−
s
2
d
s
=
0
{\displaystyle \int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{\frac {\sqrt {3}}{2}}^{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\arcsin(s)}{s{\sqrt {1-s^{2}}}}}\,\mathrm {d} s=0}
alors qu'en réalité :
∫
π
3
2
π
3
t
sin
(
t
)
d
t
>
0
{\displaystyle \int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t>0}
