Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable

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Ce premier chapitre énonce et démontre le théorème fondamental du changement de variable en calcul intégral. Nous verrons les modalités d'application de ce théorème dans les chapitres suivants.

Début d’un théorème

Théorème

Soient $I$ et $J$ deux intervalles réels, $\Phi \in C^{1}(I,\mathbb {R} )$ telle que $\Phi (I)\subset J$ et $f\in C^{0}(J,\mathbb {R} )$

Alors :

${\begin{array}{lcl}\forall \alpha ,\beta \in I\\\forall \Phi (\alpha ),\Phi (\beta )\in J\end{array}}\qquad \int _{\alpha }^{\beta }f\left(\Phi (t)\right)\Phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\Phi (\alpha )}^{\Phi (\beta )}f(s)\,\mathrm {d} s$

Avec :

• $s=\Phi (t)$
• $ds=\Phi '(t)dt$

Fin du théorème

Nous allons, dans les prochains chapitres, passer en revue les principaux changements de variable que l’on peut être amené à effectuer.

Tous les changements de variable envisagés, dans les exemples, vérifient $\Phi (I)\subset J$.

Remarque

La condition $\Phi (I)\subset J$ est indispensable.

Par exemple, en effectuant le changement de variable $s=\Phi (t)=\sin(t)$ sans aucune précaution, on obtiendrait :

$\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{\frac {\sqrt {3}}{2}}^{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\arcsin(s)}{s{\sqrt {1-s^{2}}}}}\,\mathrm {d} s=0$

alors qu'en réalité :

$\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t>0$, puisque c'est l'intégrale d'une fonction continue strictement positive sur un intervalle de longueur non nulle.