Leçons de niveau 14

Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable

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Formule fondamentale du changement de variable
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Chapitre no 1
Leçon : Changement de variable en calcul intégral
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Chap. suiv. :Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
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Ce premier chapitre énonce et démontre le théorème fondamental du changement de variable en calcul intégral. Nous discuterons ensuite des modalités d'application de ce théorème.

Début d’un théorème


Fin du théorème


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Démonstration D'après le théorème fondamental de l'analyse, l'application

est la primitive de nulle en et l'application

est la primitive de nulle en .

On en déduit que . En effet :

  • d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,  ;
  • .

En particulier, , ce qu'il fallait démontrer.

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Exemple

Calculons, à titre d'exemple, l'intégrale :

Posons :

.

La fonction Φ est de classe C1 de l'intervalle I = R+ dans J = R+, 4 et 9 appartiennent à I. Le changement de variable est donc valide. De plus :

.

D'après la formule du changement de variable appliquée à la fonction (qui est bien définie et continue sur J), on a donc :


Nous allons, dans les prochains chapitres, passer en revue les principaux changements de variable que l’on peut être amené à utiliser.

Tous les changements de variable envisagés, dans les exemples, vérifient Φ(I) ⊂ J même si nous ne l’avons pas vérifié pour simplifier l’exposé. Le lecteur est toutefois invité à faire cette vérification.