Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable

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Ce premier chapitre énonce le théorème fondamental du changement de variable en calcul intégral. Nous verrons les modalités d'application de ce théorème dans les chapitres suivants.

Début d’un théorème

Théorème

Soient $I$ et $J$ deux intervalles réels, $\mathrm{\Phi }\in C^1(I,ℝ)$ telle que $\mathrm{\Phi }(I)\subset J$ et $f\in C^0(J,ℝ)$

Alors :

$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in I\\ \mathrm{\forall }\mathrm{\Phi }(\alpha ),\mathrm{\Phi }(\beta )\in J\end{array}{\int }_{\alpha }^{\beta }f(\mathrm{\Phi }(t)){\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)\mathrm{d}t={\int }_{\mathrm{\Phi }(\alpha )}^{\mathrm{\Phi }(\beta )}f(s)\mathrm{d}s$

Avec :

• $s=\mathrm{\Phi }(t)$
• $ds={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)dt$

Fin du théorème

Démonstration, voir wikipedia, intégration par changement de variable.

Nous allons, dans les prochains chapitres, passer en revue les principaux changements de variable que l’on peut être amené à effectuer.

Tous les changements de variable envisagés, dans les exemples, vérifient $\mathrm{\Phi }(I)\subset J$.