Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré

**Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré**
Leçon : Changement de variable en calcul intégral

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
Chap. suiv. :	Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré
Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Premier type[modifier | modifier le wikicode]

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0$ .

On pose :

$x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )$ .

On a alors :

$x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta$ .

Exemple

Calculer :

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}$ .

On pose :

$x={\frac {3-1}{2}}-{\frac {3+1}{2}}\cos(2\theta )=1-2\cos(2\theta )\qquad \mathrm {d} x=4\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta$

On a donc :

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {4\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{{\sqrt {2-2\cos(2\theta )}}+{\sqrt {2+2\cos(2\theta )}}-2}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {4\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{{\sqrt {4\sin ^{2}\theta }}+{\sqrt {4\cos ^{2}\theta }}-2}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{\sin \theta +\cos \theta -1}}=2\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{{\sqrt {2}}\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{4}}\right)-1}}.\end{aligned}}$

Posons :

y=\theta +{\frac {\pi }{4}}

.

On obtient alors :

\sin(2\theta )=\sin \left(2y-{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos(2y)=2\sin ^{2}y-1=\left({\sqrt {2}}\sin y-1\right)\left({\sqrt {2}}\sin y+1\right)

donc

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}&=2\int _{\frac {5\pi }{12}}^{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\sin y\right)\,\mathrm {d} y=2\left[y-{\sqrt {2}}\cos y\right]_{\frac {5\pi }{12}}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {5\pi }{12}}-{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {2}}\cos {\frac {5\pi }{12}}\right)\\&=\pi -{\frac {5\pi }{6}}-0+2{\sqrt {2}}\,{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\\&={\frac {\pi }{6}}+{\sqrt {3}}-1.\end{aligned}}$

Dans cet exemple, les calculs se sont effectués avec une déconcertante facilité. Toutefois, comme le changement de variable étudié fait apparaître des fonctions trigonométriques, il pourra éventuellement être nécessaire de faire appel aux techniques du chapitre sur les changements de variables dans les expressions trigonométriques.