Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré

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Premier type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0$

On pose :

$x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )$

On a alors :

$x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta$

Deuxième type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b$

On pose :

$x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}$

On a alors :

$x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta$

Troisième type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b$

On pose :

$x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b+a}{2}}$

On a alors :

$a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta$