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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit une fonction réelle composée d'une fonction homographique du premier degré élevée à la puissance nième.
La fonction est exprimée sous la forme générale :
f
(
x
,
a
x
+
b
c
x
+
d
n
)
{\displaystyle f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)}
Le changement de variable de l'intégrale d'une telle fonction est défini par :
u
=
a
x
+
b
c
x
+
d
n
⇔
x
=
b
−
d
u
n
c
u
n
−
a
d
x
=
(
a
d
−
b
c
)
n
u
n
−
1
(
c
u
n
−
a
)
2
d
u
{\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\Leftrightarrow x={\frac {b-du^{n}}{cu^{n}-a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {(ad-bc)nu^{n-1}}{\left(cu^{n}-a\right)^{2}}}\,\mathrm {d} u}
Ainsi, l'équivalence des deux intégrales définies est la suivante :
∫
α
β
f
(
x
,
a
x
+
b
c
x
+
d
n
)
d
x
⟺
∫
φ
1
φ
2
f
(
φ
(
u
)
)
φ
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x\Longleftrightarrow \int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{f(\varphi (u))\varphi '(u)du}}
Avec :
φ
1
=
a
α
+
b
c
α
+
d
n
{\displaystyle \varphi _{1}={\sqrt[{n}]{\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}}}
φ
2
=
a
β
+
b
c
β
+
d
n
{\displaystyle \varphi _{2}={\sqrt[{n}]{\frac {a\beta +b}{c\beta +d}}}}
![{\displaystyle f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4398b910c5e979cc580bfa2b8c72146be5fc5c1)
![{\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\Leftrightarrow x={\frac {b-du^{n}}{cu^{n}-a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {(ad-bc)nu^{n-1}}{\left(cu^{n}-a\right)^{2}}}\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a28f86b7be2cfd00ffcdc32eeb64a7a3ad01681)
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x\Longleftrightarrow \int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{f(\varphi (u))\varphi '(u)du}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49bd43ef67dac86596f4a0f2e0f6e11383f567d)
![{\displaystyle \varphi _{1}={\sqrt[{n}]{\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3a33e12145a7dd027b3c095bea27e2c1e45fe2)
![{\displaystyle \varphi _{2}={\sqrt[{n}]{\frac {a\beta +b}{c\beta +d}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff371b3a11ede5ad9783af8f4d2e040c86d7363e)
