Leçons de niveau 14

Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique

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Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique
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Chapitre no 4
Leçon : Changement de variable en calcul intégral
Chap. préc. :Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré
Chap. suiv. :Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
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Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique
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Ces intégrales sont de la forme :

.

Traitons d'abord un cas simple : .

Exemple : racine carrée d'un polynôme du premier degré[modifier | modifier le wikicode]

Pour une intégrale de la forme :

,

on pose :

.

Ce changement de variable a permis de nous débarrasser de la racine gênante.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple

Calculer :

Posons :

De plus :

et .

Le calcul donne alors :

La première intégrale ne pose pas de problème. Dans la deuxième, mettons sous forme canonique. On obtient :

Pour faire apparaître une dérivée de la fonction arc tangente, posons enfin :

.

On a aussi :

et .

Par conséquent :

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas général d'une intégrale de la forme

,

on pose de même :

.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple

Calculer :

.

Posons

.

On a alors :

.

On peut alors écrire :

qui se décompose en éléments simples sous la forme :