Champs magnétique et notions électromagnétiques/Exercices/Champ magnétique d'un aimant d'un courant

Une bobine $B$ parcourue par un courant d'intensité $i$ créé en $M$ un champ magnétique ${\vec {B}}_{1}$. Un aimant $A$ créé en $M$ un champ magnétique ${\vec {B}}_{2}$.

1. Tracer ${\vec {B}}_{2}$ sachant que $B_{2}=B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})$.
2. Le champ résultant de l'action simultanée en $A$ et de $B$ est ${\vec {B}}={\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}$. Tracer ${\vec {B}}$.
3. Calculer le module de $B$ en fonction de $B_{1}$.
4. Quelle est la force subie par une particule de charge $q$ animée d'une vitesse ${\vec {v}}$ qui se trouve en $M$ à l'instant $t$ ?

Données

• $\alpha ={\frac {\pi }{3}}$
• B₁ = 1 mT
• Vitesse d'un électron dans un conducteur de cuivre v₁ = 60 cm/h
• v₂ = 10 m/s
• Masse d'un électron m_e = 9,109 382 15 × 10⁻³¹ kg
• Charge électrique fondamentale négative q = −1,602 176 53 × 10⁻¹⁹ C

Solution

1. Voir la question suivante.
2. 
3. Soit $B_{x}=B_{1_{x}}+B_{2_{x}}$ et $B_{y}=B_{1_{y}}+B_{2_{y}}$. On sait que $B_{1_{x}}=B_{1}$ et $B_{1_{y}}=0$. On détermine l'intensité du vecteur ${\vec {B}}_{2}$.

   $B_{2_{x}}=B_{2}\cdot \cos(\alpha )$ avec $\alpha ={\frac {\pi }{3}}$

   $B_{2_{x}}=B_{2}\cdot \cos({\frac {\pi }{3}})={\frac {1}{2}}\cdot B_{2}$

   Or $B_{2}=B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})$ donc

   $B_{2_{x}}={\frac {1}{2}}\cdot B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})$

   De même

   $B_{2_{y}}=B_{2}\cdot \sin(\alpha )=B_{2}\cdot \sin({\frac {\pi }{3}})={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot B_{2}$

   Donc

   $B_{2_{y}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})$

   Enfin, on détermine l'intensité du vecteur ${\vec {B}}$

   ${\begin{aligned}B_{x}&=B_{1_{x}}+B_{2_{x}}\\&=B_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})\\&=B_{1}\cdot (1+{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}})\\&=B_{1}\cdot ({\frac {3}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}})\\&=B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}})\end{aligned}}$

   De même

   ${\begin{aligned}B_{y}&=B_{1_{y}}+B_{2_{y}}\\B_{y}&=0+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})\\B_{y}&=B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}})\end{aligned}}$

   Donc

   ${\begin{aligned}B&={\sqrt {(B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}}))^{2}+(B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}}))^{2}}}\\B&={\sqrt {(2\cdot B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}}))^{2}}}\\B&={\sqrt {2}}\cdot B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}})\\B&=B_{1}\cdot ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{\sqrt {2}}})\end{aligned}}$

4. On détermine d'abord l’angle $({\vec {v}},{\vec {B}})$ ou $({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$ car ${\vec {v}}=k{\vec {B_{1}}}$ avec $k>0$. On sait que $({\vec {B}}_{1},{\vec {B}}_{2})=\alpha ={\frac {\pi }{3}}$ et $B_{2}=B_{1}\cdot (1+{\sqrt {3}})$.

   ${\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}_{2}=B_{1}\cdot B_{2}\cdot \cos({\frac {\pi }{3}})={\frac {1}{2}}\cdot {B_{1}}^{2}\cdot (1+{\sqrt {3}})$

   ${\vec {B}}_{1}\cdot ({\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2})={\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}=B_{1}\cdot B\cdot \cos({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   ${\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}_{2}=B_{1}\cdot {\sqrt {{B_{1}}^{2}+2{\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}+{B_{2}}^{2}}}\cdot \cos({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   ${B_{1}}^{2}+(1+{\sqrt {3}})\cdot {B_{1}}^{2}\cdot {\frac {1}{2}}=B_{1}\cdot {\sqrt {{B_{1}}^{2}+(1+{\sqrt {3}}){B_{1}}^{2}+(1+{\sqrt {3}})^{2}{B_{1}}^{2}}}\cdot \cos({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   $1+{\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {3}})={\sqrt {1+(1+{\sqrt {3}})+(1+{\sqrt {3}})^{2}}}\cdot \cos({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   ${\frac {3+{\sqrt {3}}}{2}}={\sqrt {6+3{\sqrt {3}}}}\cdot \cos({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   $({\frac {3+{\sqrt {3}}}{2}})^{2}=(6+3{\sqrt {3}})\cdot \cos ^{2}({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   ${\frac {6+3{\sqrt {3}}}{2}}=(6+3{\sqrt {3}})\cdot \cos ^{2}({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})$

   $\cos ^{2}({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})={\frac {1}{2}}$

   $\cos({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

   $({\vec {B}}_{1},{\vec {B}})={\frac {\pi }{4}}$

   On calcule la force $F$ subie par une particule de charge $q$ animée d'une vitesse ${\vec {v}}$ qui se trouve en $M$ à l'instant $t$.

   $F_{1}(t)=q\cdot v\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})$

   Pour $v_{1}$ :

   $F_{1}(t)=q\cdot v_{1}\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})=1{,}6\cdot 10^{-19}\times 0{,}01\times t\times 0{,}001\times ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}})=3{,}8\cdot 10^{-25}\ {\text{N}}$

   De même :

   $F_{1}(t)=q\cdot v_{2}\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})=1{,}6\cdot 10^{-19}\times 10\times t\times 0{,}001\times ({\frac {{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {3}})}{2}})=3{,}8\cdot 10^{-21}\ {\text{N}}$