Champs magnétique et notions électromagnétiques/Exercices/Un électron et un champ magnétique

Un électron, animée d'une vitesse ${\vec {v}}$, pénètre dans un champ magnétique uniforme ${\vec {B}}$. Les vecteurs ${\vec {v}}$ et ${\vec {B}}$ sont orthogonaux, la trajectoire de la particule est un cercle de rayon $R$.

1. Calculer le module $v$ de la vitesse d'électron.
2. Calculer le module $v$ de la vitesse d'un proton.

Données

• m_e = 9,109 382 15 × 10⁻³¹ kg
• m_p = 1,67 × 10⁻²⁷ kg
• q = 1,602 176 53 × 10⁻¹⁹ C
• B = 1,0 T
• R = 1,0 cm

Solution

La force de Laplace subie par l'électron $F_{L}$ est sa force centrifuge $F_{\text{cen}}$ donc

$F_{L}=q\cdot v\cdot B\cos({\vec {v}},{\vec {B}})$ et $F_{\text{cen}}=m\cdot {\frac {v^{2}}{R}}$

On résoudre donc $v$.

${\begin{aligned}F_{L}&=F_{\text{cen}}\\q\cdot v\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})&=m\cdot {\frac {v^{2}}{R}}\\q\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})&=m\cdot {\frac {v}{R}}\\v&={\frac {R\cdot q\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})}{m}}\end{aligned}}$

On calcule $v$.

$v={\frac {R\cdot q\cdot B\cdot \sin({\vec {v}},{\vec {B}})}{m}}={\frac {1{,}0\cdot 10^{-2}\times -1{,}6\cdot 10^{-19}\times 1\times \sin({\frac {\pi }{2}})}{9{,}1\times 10^{-31}}}=1{,}8\times 10^{9}\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}$