Calcul différentiel/Devoir/Intégrales premières

On considère l'équation différentielle

${{\rm {d}}x \over {\rm {d}}t}=f(x),\qquad \qquad (1)$

où $U$ est un ouvert de ${{\mathbb {R}}^{n}}$ ($n\geq 2$) et $f=(f_{1},\ldots ,f_{n}):U\to {\mathbb {R}}^{n}$ une application de classe C¹.

Dans tout le problème, on désignera par :

• $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ un point fixé de $U$ tel que $f_{1}(a)\neq 0$ ;
• $x=(t,(x_{2},\ldots ,x_{n}))=(t,y)$ les coordonnées dans $U$.

1°)

a) Soient $W$ un ouvert de $U$ et $F:W\to {\mathbb {R}}$ une fonction C¹. On dit que $F$ est une intégrale première de $(1)$ (sur $W$) si pour toute solution $\varphi :I\to W$ de $(1)$, la fonction $F\circ \varphi$ est constante. Montrer que si $H_{1},\ldots ,H_{p}$ sont des intégrales premières de $(1)$ et si $K$ est une fonction C¹ de ${\mathbb {R}}^{p}$ dans ${\mathbb {R}}$ alors $K\circ (H_{1},\ldots ,H_{p})$ est une intégrale première de $(1)$.

b) Montrer que si $F$ est une intégrale première de $(1)$, $F(\Phi (t,z))$ est indépendant de $t$ (pour tout $z\in U$).

c) En déduire que toute intégrale première de $(1)$ est solution de l'équation aux dérivées partielles

${\rm {D}}F(z)(f(z))=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(z){\rm {D}}_{i}F(z)=0.\qquad \qquad (2)$

(${\rm {D}}F(x)$ désigne la dérivée de $F$ en $x$, et les ${\rm {D}}_{i}F$ sont les dérivées partielles de $F$).

d) Démontrer la réciproque de c).

2°) On pose $\Psi (t,y)=\Phi (t,(a_{1},y))$. ($\Psi$ est donc définie sur un voisinage $V$ de $a$). Soit $F$ une fonction C¹ de $W_{2}$ dans ${\mathbb {R}}$.

a) Montrer qu'il existe deux voisinages de $a$, $W_{1}\subset V$ et $W_{2}\subset U$, tels que $\Psi$ induise un difféomorphisme C¹ de $W_{1}$ sur $W_{2}$.

b) En déduire que si $F(\Psi (t,y))$ est indépendant de $t$ alors $F$ est solution de $(2)$.

c) En déduire (en utilisant la question 1) que $F$ est une intégrale première de $(1)$ si et seulement si $F(\Psi (t,y))$ est indépendant de $t$.

3°) Sur $W_{2}$ on pose $\Psi ^{-1}=(F_{1},\ldots ,F_{n})$.

a) Pourquoi les différentielles ${\rm {D}}F_{2}(x),\ldots ,{\rm {D}}F_{n}(x)$ sont-elles linéairement indépendantes en tout point $x$ de $W_{2}$ ?

b) Pourquoi $F_{2},\ldots ,F_{n}$ sont-elles des intégrales premières de $(1)$ ?

c) Notons $\Omega =(F_{2},\ldots ,F_{n})(W_{2})\subset {\mathbb {R}}^{n-1}$. Déduire de 2.c) que pour toute intégrale première $F$ de $(1)$ sur $W_{2}$, il existe une fonction $G:\Omega \to {\mathbb {R}}$ de classe C¹ telle que $F=G\circ (F_{2}\ldots ,F_{n})$.

4°)

a) Soient $E$ un espace de Banach, $W$ un ouvert de $E$, $A$ et $B$ deux fonctions C¹ de $W$ dans ${\mathbb {R}}^{k}$, et $\Omega =A(W)$. On suppose que :

• en tout point $x$ de $W$, les différentielles ${\rm {D}}A(x)$ et ${\rm {D}}B(x)$ sont de rang $k$ ;
• il existe une application C¹, $C:\Omega \to {\mathbb {R}}^{k}$ telle que $B=C\circ A$.

Montrer qu'alors, $\Omega$ est un ouvert de ${\mathbb {R}}^{k}$ et $C$ est un difféomorphisme local.

b) Soient $H_{2},\ldots ,H_{n}$ des intégrales premières de $(1)$ sur $W_{2}$ dont les différentielles sont linéairement indépendantes en tout point de $W_{2}$. Déduire de 3 et de 4.a que toute intégrale première sur $W_{2}$ est (localement) de la forme $K\circ (H_{2},\ldots ,H_{n})$ avec $K$ de classe C¹.

c) Donner une méthode générale de résolution locale de l'équation aux dérivées partielles $(2)$. Comme application, résoudre au voisinage de $a=(0,0,1)$ l'équation aux dérivées partielles (associée à l'exercice 7 sur les équations différentielles linéaires) :

$3x{\partial F \over \partial x}+(2y+z){\partial F \over \partial y}+2z{\partial F \over \partial z}=0$.

Solution

1°)

a) Pour toute solution $\varphi$ de $(1)$, les $H_{i}\circ \varphi$ sont constantes donc $K\circ (H_{1},\ldots ,H_{p})\circ \varphi$ aussi.

b) $t\mapsto \Phi (t,z)$ est solution de $(1)$, donc sa composée par $F$ est constante.

c) $(2)$ s'obtient en dérivant $F(\Phi (t,z))={\rm {constante}}$, par rapport à $t$, au point $(a_{1},z)$.

d) Si $F$ vérifie $(2)$ alors pour toute solution $\varphi$ de $(1)$, la dérivée de $F\circ \varphi$ est nulle, donc $F\circ \varphi$ est constante sur son intervalle de définition.

2°)

a) Il suffit de vérifier l'hypothèse du théorème d'inversion locale, c'est-à-dire que ${\rm {D}}\Psi (a)$ est inversible. Or ${\rm {D}}\Psi (a)=\left({\partial \Psi \over \partial t}(a),{\partial \Psi \over \partial y}(a)\right)$. Calculons séparément ces deux dérivées partielles.

• D'une part, ${\partial \Psi \over \partial t}(a)={\partial \Phi \over \partial t}(a_{1},a)=f(\Phi (a_{1},a))=f(a)$ (plus généralement, ${\partial \Psi \over \partial t}(a_{1},y)=f(a_{1},y)$).
• D'autre part, comme $\Psi (a_{1},y)=\Phi (a_{1},(a_{1},y))=(a_{1},y)$, ${\partial \Psi \over \partial y}(a)$ (ou plus généralement ${\partial \Psi \over \partial y}(a_{1},y)$) est égal à ${\begin{pmatrix}0\ldots 0\\I_{n-1}\end{pmatrix}}$.

Finalement, ${\rm {D}}\Psi (a)={\begin{pmatrix}f_{1}(a)&0\ldots 0\\\ldots &I_{n-1}\end{pmatrix}}$ est inversible puisque par hypothèse, $f_{1}(a)\neq 0$.

b) En dérivant par rapport à $t$ l'équation $F(\Psi (t,y))={\rm {constante}}$, on trouve que $(2)$ est vérifié pour tout $z$ de la forme $\Psi (t,y)$, donc pour tout $z\in W_{2}$.

c) Si $F$ est une intégrale première de $(1)$, $F(\Psi (t,y))$ est indépendant de $t$ d'après 1.b. Réciproquement si $F(\Psi (t,y))$ est indépendant de $t$, $F$ est solution de $(2)$ d'après 2.b, donc est une intégrale première de $(1)$ d'après 1.d.

3°)

a) Parce que $D(\Psi ^{-1})(x)$ est inversible, puisque $\Psi :W_{1}\to W_{2}$ est un difféo.

b) Parce que $(F_{2},\ldots ,F_{n})(\psi (t,y))$ est égal à $y$ donc est indépendant de $t$.

c) D'après 2.c, $F(\Psi (t,y))$ est indépendant de $t$, ce qui définit une fonction $G$ (C¹) telle que $F(\Psi (t,y))=G(y)$, autrement dit telle que $F=G\circ (F_{2}\ldots ,F_{n})$.

4°)

a) $\Omega$ est ouvert parce que les ${\rm {D}}A(x)$ sont de rang $k$ : pour $y_{0}=A(x_{0})\in \Omega$, en appelant $R$ un inverse à droite de ${\rm {D}}A(x_{0})$, l'application $y\mapsto A(x_{0}+R(y-y_{0}))$ est inversible au voisinage de $y_{0}$ d'après le théorème d'inversion locale, donc tout $y$ suffisamment proche de $y_{0}$ est de la forme $A(x)$, c'est-à-dire appartient à $\Omega$.

$C$ est un difféomorphisme local car pour $y=A(x)\in \Omega$, ${\rm {D}}C(y)\in {\rm {End}}({\mathbb {R}}^{k})$ est bijectif, car surjectif puisque ${\rm {D}}C(y)\circ {\rm {D}}A(x)={\rm {D}}B(x)$ l'est.

b) Soient $A=(F_{2},\ldots ,F_{n})$ et $B=(H_{2},\ldots ,H_{n})$. D'après 3.a et 3.c, les hypothèses de 4.a sont vérifiées donc $A$ est (localement) de la forme $C^{-1}\circ B$. D'après 3.c, toute intégrale première est (au voisinage de $a$) de la forme $G\circ A=K\circ B$ avec $K=G\circ C^{-1}$.

c) D'après 1.c et d, les solutions de $(2)$ sont les intégrales premières de $(1)$. D'après 4.b et 1.a, ce sont donc (localement) les fonctions C¹ de $n-1$ intégrales premières « indépendantes » quelconques.

Application : les intégrales premières sont les fonctions $F$ constantes le long de chaque courbe paramétrée $C_{a,b,c}$ : $x=a{\rm {e}}^{3t},y=(ct+b){\rm {e}}^{2t},z=c{\rm {e}}^{2t}$. Au voisinage de $(0,0,1)$ on a $z>0$, ce qui permet d'exprimer $t$ en fonction de $z$ et d'en tirer : $x/z^{3/2}=$constante et ${\rm {e}}^{y/z}/{\sqrt {z}}=$constante. Ceci fournit deux intégrales premières $H_{2}(x,y,z)=x/z^{3/2}$ et $H_{3}(x,y,z)={\rm {e}}^{y/z}/{\sqrt {z}}$. On vérifie que ${\rm {D}}H_{2}(0,0,1)$ et ${\rm {D}}H_{3}(0,0,1)$ sont linéairement indépendantes. Les solutions de l'e.d.p. sont donc (pour $z>0$) les fonctions de la forme $F(x,y,z)=K(x/z^{3/2},{\rm {e}}^{y/z}/{\sqrt {z}})$

(avec $K:{\mathbb {R}}^{+}\times {\mathbb {R}}^{+*}\to {\mathbb {R}}$ de classe C¹).