Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Devoir/Intégrales premières

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Intégrales premières
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Devoir no1
Leçon : Calcul différentiel

Devoir de niveau 15.

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Calcul différentiel/Devoir/Intégrales premières
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On considère l'équation différentielle

est un ouvert de () et une application de classe C1.

Dans tout le problème, on désignera par :

  • un point fixé de tel que  ;
  • les coordonnées dans .


1°)

a) Soient un ouvert de et une fonction C1. On dit que est une intégrale première de (sur ) si pour toute solution de , la fonction est constante. Montrer que si sont des intégrales premières de et si est une fonction C1 de dans alors est une intégrale première de .

b) Montrer que si est une intégrale première de , est indépendant de (pour tout ).

c) En déduire que toute intégrale première de est solution de l'équation aux dérivées partielles

( désigne la dérivée de en , et les sont les dérivées partielles de ).

d) Démontrer la réciproque de c).

2°) On pose . ( est donc définie sur un voisinage de ). Soit une fonction C1 de dans .

a) Montrer qu'il existe deux voisinages de , et , tels que induise un difféomorphisme C1 de sur .

b) En déduire que si est indépendant de alors est solution de .

c) En déduire (en utilisant la question 1) que est une intégrale première de si et seulement si est indépendant de .

3°) Sur on pose .

a) Pourquoi les différentielles sont-elles linéairement indépendantes en tout point de  ?

b) Pourquoi sont-elles des intégrales premières de  ?

c) Notons . Déduire de 2.c) que pour toute intégrale première de sur , il existe une fonction de classe C1 telle que .

4°)

a) Soient un espace de Banach, un ouvert de , et deux fonctions C1 de dans , et . On suppose que :

  • en tout point de , les différentielles et sont de rang  ;
  • il existe une application C1, telle que .

Montrer qu'alors, est un ouvert de et est un difféomorphisme local.

b) Soient des intégrales premières de sur dont les différentielles sont linéairement indépendantes en tout point de . Déduire de 3 et de 4.a que toute intégrale première sur est (localement) de la forme avec de classe C1.

c) Donner une méthode générale de résolution locale de l'équation aux dérivées partielles . Comme application, résoudre au voisinage de l'équation aux dérivées partielles (associée à l'exercice 7 sur les équations différentielles linéaires) :

.