Calcul avec les nombres complexes/Division de deux complexes

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Division de deux nombres complexes

Produit d'un nombre complexe et de son conjugué

Propriété

Pour tout nombre complexe z non nul, le produit $z\overline{z}$ est un nombre réel strictement positif.

Avec la forme algébrique de z, on a :

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{iy}{x^2+y^2}$ car $z\ne 0$ et $\overline{z}\ne 0$.

Division de nombres complexes

La propriété précédente nous permet de diviser deux nombres complexes en multipliant au numérateur et au dénominateur par $\overline{z}$.

Début de l'exemple

Exemple d'utilisation du conjugué

Soit $z=2+3i$, calculer $\frac{1}{z}$
$\frac{1}{z}=\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i}{4-i^2\times 9}=\frac{2-3i}{4+9}=\frac{2-3i}{13}$

Fin de l'exemple

Opérations avec les nombres complexes conjugués

Définition

La conjugaison "se comporte bien" avec les quatre opérations.

C'est-à-dire l’ordre dans lequel les calculs (opérations ou conjugué) sont effectués n'a pas d'importance.

• $\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2$
• $\overline{z_1-z_2}={\overline{z}}_1-{\overline{z}}_2$
• $\overline{z_1\times z_2}={\overline{z}}_1\times {\overline{z}}_2$
• $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$.
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{{\overline{z}}_1}{{\overline{z}}_2}$

Par extension à la multiplication et à l'inverse, nous pouvons aussi calculer le nombre complexe conjugué d'un nombre complexe à la puissance $n\in \mathbb{Z}$ :

• $\overline{z^n}={\left(\overline{z}\right)}^n$

'Démonstrations'

Début d’un principe

Démonstration

Soit $z=a+ib$ et $z^{\prime }=c+id$, on a:

• Pour l'addition (et la soustraction) :
  • $z+z^{\prime }=a+ib+c+id=a+c+i(b+d)$.
  • $\overline{z}+{\overline{z}}^{\prime }=a-ib+c-id=a+c-i(b+d)$.
  • $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{a+ib+c+id}=\overline{a+c+i(b+d)}=a+c-i(b+d)=\overline{z}+{\overline{z}}^{\prime }$.
• Pour la multiplication (et la puissance) :
  • $z\times z^{\prime }=(a+ib)\times (c+id)=ac-bd+i(ad+cb)$.
  • $\overline{z}\times {\overline{z}}^{\prime }=(a-ib)\times (c-id)=ac-bd-i(ad+cb)$.
  • $\overline{z\times z^{\prime }}=\overline{(a+ib)\times (c+id)}=\overline{ac-bd+i(ad+cb)}=ac-bd-i(ad+cb)=\overline{z}\times {\overline{z}}^{\prime }$.
• Pour l'inverse : avec $z^{\prime }\ne 0$,
  • ${\frac{1}{z}}^{\prime }=\frac{c-id}{c^2+d^2}$.
  • $\frac{1}{\overline{z^{\prime }}}=\frac{1}{c-id}=\frac{c+id}{c^2+d^2}$.
  • $\overline{\left(\frac{1}{z^{\prime }}\right)}=\overline{\left(\frac{c-id}{c^2+d^2}\right)}=\frac{c+id}{c^2+d^2}=\frac{1}{\overline{z^{\prime }}}$.
• Pour la division : avec $z^{\prime }\ne 0$,
  $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\overline{z\times \frac{1}{z^{\prime }}}=\overline{z}\times \overline{\left(\frac{1}{z^{\prime }}\right)}=\overline{z}\times \frac{1}{\overline{z^{\prime }}}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$

Fin du principe

 

Début de l'exemple

Exemples

Soit $z_1=3+i$ et $z_2=-2-5i$, le conjugué de $z_1\times z_2$ est :

• Première méthode

$\overline{z_1\times z_2}=\overline{(3+i)\times (-2-5i)}=\overline{-6-15i-2i+5}=\overline{-1-17i}=-1+17i$

• Seconde méthode

$\overline{z_1\times z_2}=\overline{(3+i)}\times \overline{(-2-5i)}=(3-i)\times (-2+5i)=-6+15i+2i+5=-1+17i$
Les deux méthodes conduisent donc bien au même résultat.

Fin de l'exemple

Expression des parties réelle et imaginaire avec le conjugué

Au lieu de séparer parties réelle et imaginaire pour mettre un nombre complexe sous forme algébrique, nous pouvons les calculer directement grâce à ces formules.

Propriété

Pour $z=x+iy$
La partie réelle est $\mathrm{\Re }(z)=\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$
et la partie imaginaire est $\mathrm{\Im }(z)=\mathrm{I}\mathrm{m}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$

'Démonstration'

Début d’un principe

Démonstration

La démonstration est simple, pour $z=x+iy$, il suffit de faire l'addition de $z+\overline{z}$ pour obtenir la partie réelle et la soustraction $z-\overline{z}$ pour obtenir la partie imaginaire.
$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\mathrm{\Re }(z)$
$z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\mathrm{\Im }(z)$

Fin du principe

 

Par extension, on a la propriété suivante :

Propriété

• On a z réel si et seulement si : $z-\overline{z}=0$
• Et z est un imaginaire pur si et seulement si $z+\overline{z}=0$