Leçons de niveau 13

Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes

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Sur les fonctions complexes
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Exercices no8
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Sur les applications géométriques
Exo suiv. :Divers
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes
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Exercice 8-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application de dans définie par :

.

 Précisez l'application et déterminez les deux ensembles suivants :

.

 Soit le plan rapporté au repère orthonormal .

À chaque nombre complexe on associe son point image dans .
Soit l’application de dans qui, au point image de , associe le point d'affixe .
a)  Précisez et déterminez les deux ensembles suivants :
.
b)  Démontrez que pour tout point de , le point appartient à et que pour tout point de n'appartenant pas à , la droite est parallèle à .
En déduire la nature de .

Exercice 8-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application de dans qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :

.

 Quel est l’ensemble des nombres tel que  ?

 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal on désigne par M et M' les points d'affixes respectives et .

a)  Quel est l'ensemble des points M tel que le triangle MOM' soit rectangle en O ?
b)  Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?

 Déterminez l'ensemble des nombres complexes images par des nombres complexes de module .

 Déterminez et représentez dans le plan complexe les points M, d'affixe telle que .

Exercice 8-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application de dans définie par :

.

Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe .

 Déterminez les coordonnées du point B dont l'affixe est telle que .

 Soit un élément de . On note le module de et une mesure de son argument.

Exprimez la forme trigonométrique de en fonction de et de .

 Soit A le point d'affixe .

a)  Déterminez :
  • l'ensemble des points M vérifiant  ;
  • l'ensemble des points M tels que soit une mesure de l'argument de .
b)  Montrez que B appartient à et et construire et .

Exercice 8-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et les racines cubiques de l'unité, où .

 Soit, pour tout complexe :

.
Vérifiez que .

 Soit M l'image de dans le plan complexe. Déterminez et construire :

  • l'ensemble des points M tels que soit réel ;
  • l'ensemble des point M tels que soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que ait pour argument .

 Déterminez , en justifiant le résultat.

Exercice 8-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe , associe M' d'affixe :

.

 Calculez les coordonnées de M' en fonction des coordonnées de M.

Déterminez l'ensemble des points M'.

 Calculez le module de en fonction de .

Déterminez et représentez l'ensemble des point M tels que .

 Déterminez et représentez l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.