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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes

Leçons de niveau 13
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Sur les fonctions complexes
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Exercices no8
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur les applications géométriques
Exo suiv. :Divers
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes
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Soit l'application de dans définie par :

.

 Préciser l'application et déterminer les deux ensembles suivants :

.

 Soit le plan rapporté au repère orthonormal .

À chaque nombre complexe on associe son point image dans .
Soit l’application de dans qui, au point image de , associe le point d'affixe .
a)  Préciser et déterminer les deux ensembles suivants :
.
b)  Démontrer que pour tout point de , le point appartient à et que pour tout point de n'appartenant pas à , la droite est parallèle à .
En déduire la nature de .

Soit l'application de dans qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :

.

 Quel est l’ensemble des nombres tel que  ?

 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal on désigne par M et M' les points d'affixes respectives et .

a)  Quel est l'ensemble des points M tels que le triangle MOM' soit rectangle en O ?
b)  Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?

 Déterminer l'ensemble des nombres complexes images par des nombres complexes de module .

 Déterminer et représenter dans le plan complexe les points M, d'affixe telle que .

Soit l'application de dans définie par :

.

Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe .

 Déterminer les coordonnées du point B dont l'affixe est telle que .

 Soit un élément de . On note le module de et une mesure de son argument.

Exprimer la forme trigonométrique de en fonction de et de .

 Soit A le point d'affixe .

a)  Déterminer :
  • l'ensemble des points M vérifiant  ;
  • l'ensemble des points M tels que soit une mesure de l'argument de .
b)  Montrer que B appartient à et et construire et .

Soient , et les racines cubiques de l'unité, où .

 Soit, pour tout complexe :

.
Vérifier que .

 Soit M l'image de dans le plan complexe. Déterminer et construire :

  • l'ensemble des points M tels que soit réel ;
  • l'ensemble des point M tels que soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que ait pour argument .

 Déterminer , en justifiant le résultat.

Soit l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe , associe M' d'affixe :

.

 Calculer les coordonnées de M' en fonction des coordonnées de M.

Déterminer l'ensemble des points M'.

 Calculer le module de en fonction de .

Déterminer et représenter l'ensemble des point M tels que .

 Déterminer et représenter l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.