Leçons de niveau 13

Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Divers

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Divers
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Exercices no9
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Divers
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Exercice 9-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit la suite de nombres complexes définie par la donnée de et les conditions suivantes : Pour tout entier naturel , un représentant de l'argument de appartient à l'intervalle et

 Déterminez le module et un argument de .

 On pose et , où désigne le logarithme népérien de . Montrez que est une suite géométrique.

Exercice 9-2[modifier | modifier le wikicode]

Pour réel fixé, soit l'équation :

.

 Pour tout , démontrer qu'il existe une unique solution réelle puis résoudre l'équation dans .

 Soit , lorsqu'elle existe, l'autre solution, et son image dans le plan complexe.

Déterminer l'ensemble décrit par .

Exercice 9-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et M l'image de .

 Démontrez que est réel si, et seulement si :

ou .

 Déterminer l'ensemble des points M tels que :

.

 Dans ce cas, calculer , puis en fonction de , argument de .

Exercice 9-4[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre dans , où désigne l'ensemble des nombres complexes de module  :