Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Divers

Exercice 9-1

Soit $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la suite de nombres complexes définie par la donnée de $z_{0}=2{\sqrt {2}}\left(-1+\mathrm {i} \right)$ et les conditions suivantes : Pour tout entier naturel $n$, un représentant de l'argument de $z_{n+1}$ appartient à l'intervalle $\left[{\frac {\pi }{2}},\pi \right]$ et $z_{n+1}^{4}=z_{n}$

1°  Déterminer le module et un argument de $z_{1}$.

2°  On pose $r_{n}=|z_{n}|$ et $v_{n}=\ln r_{n}$, où $\ln r_{n}$ désigne le logarithme népérien de $r_{n}$. Montrer que $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite géométrique.

Solution

1°   $z_{0}=4\operatorname {e} ^{3\mathrm {i} \pi /4}=z_{1}^{4}$ donc $|z_{1}|={\sqrt[{4}]{4}}={\sqrt {2}}$ et un argument de $z_{1}$ est $3\pi /16+\pi /2=11\pi /16$.

2°  $r_{n+1}={\sqrt[{4}]{r_{n}}}$ donc $v_{n+1}=v_{n}/4$.

 

Exercice 9-2

Pour $t$ réel fixé, soit l'équation :

$16t^{2}z^{2}-4\left(1+2\mathrm {i} t\right)z-\left(t-\mathrm {i} \right)^{2}=0$.

1°  Pour tout $t$, démontrer qu'il existe une unique solution $z$ réelle puis résoudre l'équation dans $\mathbb {C}$.

2°  Soit $z_{t}$, lorsqu'elle existe, l'autre solution, et $M_{t}$ son image dans le plan complexe.

Déterminer l'ensemble décrit par $M_{t}$.

Solution

1°  Pour $z$ réel, l'équation équivaut à $16t^{2}z^{2}-4z-t^{2}+1=0=2t\left(-4z+1\right)$ donc l'unique solution réelle est ${\frac {1}{4}}$. Si $t\neq 0$, l'équation est du second degré et sa deuxième solution dans $\mathbb {C}$ est donc $z_{0}=\left.{\frac {-\left(t-\mathrm {i} \right)^{2}}{16t^{2}}}\right/{\frac {1}{4}}={\frac {1-t^{2}+2\mathrm {i} t}{4t^{2}}}$.

2°  $M_{t}$ a pour coordonnées $y_{t}={\frac {1}{2t}},x_{t}={\frac {1-t^{2}}{4t^{2}}}=y_{t}^{2}-{\frac {1}{4}}$. Quand $t$ parcourt $\mathbb {R} ^{*}$, $M_{t}$ parcourt donc la parabole d'équation $x=y^{2}-{\frac {1}{4}}$, privée de son sommet.

 

Exercice 9-3

Soient $z\in \mathbb {C} ^{*}$ et M l'image de $z$.

1°  Démontrer que ${\frac {2z-1}{z^{2}}}$ est réel si, et seulement si :

$z={\bar {z}}\quad$ ou $\quad 2z{\bar {z}}=z+{\bar {z}}$.

2°  Déterminer l'ensemble des points M tels que :

$2z{\bar {z}}=z+{\bar {z}}$.

3°  Dans ce cas, calculer $|z|$, puis ${\frac {2z-1}{z^{2}}}$ en fonction de $\theta$, argument de $z$.

Solution

1°  ${\frac {2z-1}{z^{2}}}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {2{\overline {z}}-1}{{\bar {z}}^{2}}}={\frac {2z-1}{z^{2}}}\Leftrightarrow 2z^{2}{\bar {z}}-z^{2}=2{\bar {z}}^{2}z-{\bar {z}}^{2}\Leftrightarrow \left(z-{\bar {z}}\right)\left(2z{\bar {z}}-z-{\bar {z}}\right)=0$.

2°  $x^{2}+y^{2}=x\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}$ donc l'ensemble des points M tels que $2z{\bar {z}}=z+{\bar {z}}$ est le cercle de rayon 1/2 centré au point d'affixe 1/2.

3°  $|z|=\cos \theta$ et ${\frac {2z-1}{z^{2}}}={\frac {2\cos \theta \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }-1}{\cos ^{2}\theta \operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }}}={\frac {2\cos ^{2}\theta -1+\mathrm {i} \,2\cos \theta \sin \theta }{\cos ^{2}\theta \operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }}}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$.

 

Exercice 9-4

Résoudre dans ${\mathcal {U}}^{3}$, où ${\mathcal {U}}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de module $1$ :

${\begin{cases}z+z'+z''=1\\zz'z''=1.\end{cases}}$

Solution

$\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta '}=1-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \left(\theta +\theta '\right)}\Leftrightarrow 2\cos {\frac {\theta -\theta '}{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left(\theta +\theta '\right)/2}=2\mathrm {i} \sin {\frac {\theta +\theta '}{2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \left(\theta +\theta '\right)/2}\Leftrightarrow \cos {\frac {\theta -\theta '}{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left(\theta +\theta '-{\frac {\pi }{2}}\right)}=\cos {\frac {\pi -\theta -\theta '}{2}}$.

$\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left(\theta +\theta '-{\frac {\pi }{2}}\right)}=1,\cos {\frac {\theta -\theta '}{2}}=\cos {\frac {\pi -\theta -\theta '}{2}}\Leftrightarrow \theta \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }},\theta '\equiv 0{\bmod {2\pi }}$.

De même,

$\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left(\theta +\theta '-{\frac {\pi }{2}}\right)}=-1,\cos {\frac {-\pi -\theta -\theta '}{2}}=\cos {\frac {-\pi -\theta -\theta '}{2}}\Leftrightarrow \theta '\equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }},\theta \equiv 0{\bmod {2\pi }}$.

Enfin,

$\cos {\frac {\theta -\theta '}{2}}=\cos {\frac {\pi -\theta -\theta '}{2}}=0\Leftrightarrow \theta \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }},\theta '\equiv -\theta {\bmod {2\pi }}$.

La seule solution à permutation près est donc $\left(1,\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right)$.