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Exercice : Sur les fonctions complexes
Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
l'application de
dans
définie par :
.
1° Précisez l'application
et déterminez les deux ensembles suivants :
.
2° Soit
le plan rapporté au repère orthonormal
.
- À chaque nombre complexe on associe son point image dans
.
- Soit
l’application de
dans
qui, au point
image de
, associe le point
d'affixe
.
- a) Précisez
et déterminez les deux ensembles suivants :
.
- b) Démontrez que pour tout point
de
, le point
appartient à
et que pour tout point
de
n'appartenant pas à
, la droite
est parallèle à
.
- En déduire la nature de
.
Soit
l'application de
dans
qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :
.
1° Quel est l’ensemble des nombres
tel que
?
2° Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
on désigne par M et M' les points d'affixes respectives
et
.
- a) Quel est l'ensemble des points M tel que le triangle MOM' soit rectangle en O ?
- b) Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?
3° Déterminez l'ensemble des nombres complexes images par
des nombres complexes de module
.
4° Déterminez et représentez dans le plan complexe les points M, d'affixe
telle que
.
Solution
1° Les solutions de
, c'est-à-dire de
, sont
,
et
.
2° a) Si
et
sont le module et l'argument de
,
, donc MOM' est rectangle en O si et seulement si M appartient à l'une des quatre droites d'équations
et
(
, cf. Valeurs trigonométriques exactes).
- b) De même, M, O et M' sont alignés
M appartient à l'une des quatre droites d'équations
,
et
.
3°
.
4°
.
Soit
l'application de
dans
définie par :
.
Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe
.
1° Déterminez les coordonnées du point B dont l'affixe
est telle que
.
2° Soit
un élément de
. On note
le module de
et
une mesure de son argument.
- Exprimez la forme trigonométrique de
en fonction de
et de
.
3° Soit A le point d'affixe
.
- a) Déterminez :
- l'ensemble
des points M vérifiant
;
- l'ensemble
des points M tels que
soit une mesure de l'argument de
.
- b) Montrez que B appartient à
et
et construire
et
.
Soient
,
et
les racines cubiques de l'unité, où
.
1° Soit, pour tout
complexe :
.
- Vérifiez que
.
2° Soit M l'image de
dans le plan complexe. Déterminez et construire :
- l'ensemble
des points M tels que
soit réel ;
- l'ensemble
des point M tels que
soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que
ait pour argument
.
3° Déterminez
, en justifiant le résultat.
Soit
l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe
, associe M' d'affixe :
.
1° Calculez les coordonnées
de M' en fonction des coordonnées
de M.
- Déterminez l'ensemble des points M'.
2° Calculez le module de
en fonction de
.
- Déterminez et représentez l'ensemble des point M tels que
.
3° Déterminez et représentez l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.