Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Vecteur de Fresnel

En électricité, on utilise des fonctions sinusoïdales du temps t telles que :

• $i(t)=I\sqrt{2}\cos (\omega t)$ pour l'intensité
• $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t+\phi )$ pour la tension

Les tensions électriques sinusoïdales habituelles sont de fréquence constante ƒ = 50 Hz.

La pulsation est :

$\omega =2\pi f\approx 314\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\cdot {\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

C'est la même constante pour toutes les fonctions $i$ et $u$ ainsi définies.

Il en résulte que chaque fonction $u(t)$ est caractérisée par la donnée du réel positif $U$ et de la mesure en radians d'un angle $\phi$.

Ainsi, on peut associer à chaque fonction $u$ le nombre complexe $[U,\phi ]$

Définition

À toute tension sinusoïdale $u$, on associe le nombre complexe noté $\underset{\_}{U}$

• de module $U$, la valeur efficace de $u$,
• d'argument $\phi$, la phase initiale de $u$.

À $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t+\phi )$ on associe :

$\underset{\_}{U}=U(\cos (\phi )+j\sin (\phi ))$

Remarque

En électricité, pour éviter les confusions avec l'intensité $i$, on note $j$ le nombre complexe habituellement noté $i$ en mathématiques.

Définition

Dans le plan complexe, si M est l'image de $\underset{\_}{U}=[U,\phi ]$,

le vecteur de Fresnel de la fonction sinusoïdale u est le vecteur $\overrightarrow{OM}$.

Exemple

Soit un dipôle soumis à la tension sinusoïdale $u(t)=220\sqrt{2}\cos (\omega t+\frac{\pi }{4})$.

On peut associer à u le nombre complexe $\underset{\_}{U}=[220,\frac{\pi }{4}]$