Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Vecteur de Fresnel

En électricité, on utilise des fonctions sinusoïdales du temps t telles que :

• $i(t)=I{\sqrt {2}}\cos(\omega t)$ pour l'intensité
• $u(t)=U{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )$ pour la tension

Les tensions électriques sinusoïdales habituelles sont de fréquence constante ƒ = 50 Hz.

La pulsation est :

$\omega =2\pi f\approx 314\;\mathrm {rad} \cdot \mathrm {s^{-1}}$

C'est la même constante pour toutes les fonctions $i$ et $u$ ainsi définies.

Il en résulte que chaque fonction $u(t)$ est caractérisée par la donnée du réel positif $U$ et de la mesure en radians d'un angle $\varphi$.

Ainsi, on peut associer à chaque fonction $u$ le nombre complexe $[U,\varphi ]$

Définition

À toute tension sinusoïdale $u$, on associe le nombre complexe noté ${\underline {U}}$

• de module $U$, la valeur efficace de $u$,
• d'argument $\varphi$, la phase initiale de $u$.

À $u(t)=U{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )$ on associe :

${\underline {U}}=U(\cos(\varphi )+j\sin(\varphi ))$

Remarque

En électricité, pour éviter les confusions avec l'intensité $i$, on note $j$ le nombre complexe habituellement noté $i$ en mathématiques.

Définition

Dans le plan complexe, si M est l'image de ${\underline {U}}=[U,\varphi ]$,

le vecteur de Fresnel de la fonction sinusoïdale u est le vecteur ${\vec {OM}}$.

Exemple

Soit un dipôle soumis à la tension sinusoïdale $u(t)=220{\sqrt {2}}\cos \left(\omega t+{\frac {\pi }{4}}\right)$.

On peut associer à u le nombre complexe ${\underline {U}}=\left[220,{\frac {\pi }{4}}\right]$