Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Impédance complexe

**Impédance complexe**
Leçon : Applications techniques des nombres complexes

Annexe 3

Annexe de niveau 13.
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Impédance complexe

Quand on applique aux bornes d'un circuit une tension sinusoïdale u de pulsation $\omega$ , un courant d'intensité sinusoïdale i, de même pulsation $\omega$ , parcourt ce circuit.

Alors :

$u(t)=U{\sqrt {2}}cos(\omega t)$ et $i(t)=I{\sqrt {2}}cos(\omega t-\phi )$ .

On associe à i et u deux nombres complexes ${\underline {I}}$ et ${\underline {U}}$ :

${\underline {I}}=[I,-\phi ]$ et ${\underline {U}}=[U,0]$

Définition

L'impédance complexe du circuit est le nombre complexe :

${\underline {Z}}={\frac {\underline {U}}{\underline {I}}}$ .

L'impédance du circuit est le module $\left|{\underline {Z}}\right|$ de l'impédance complexe.

Exemples : Les impédances complexes de trois circuits simples

Résistance pure : ${\underline {Z}}=R$

Inductance pure (bobine) : ${\underline {Z}}=jL\omega$

Condensateur : ${\underline {Z}}=-{\frac {j}{C\omega }}$

Théorème

En courant sinusoïdal, dans un circuit en série ou en parallèle, la loi d'association des impédances complexes est la même que celle des résistances, en courant continu.