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Exercice : Injection, surjection, bijection
Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
est injective ;
;
;
.
Soit
une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
est surjective ;
;
.
Soient
,
et
trois applications. Démontrer que :
- si
et
sont injectives alors
est injective ;
- si
et
sont surjectives alors
est surjective ;
- si
est injective alors
est injective ;
- si
est surjective alors
est surjective ;
- si
est injective et si
est surjective alors
est injective ;
- si
est surjective et si
est injective alors
est surjective ;
et
sont bijectives si et seulement si
,
et
le sont.
Solution
- Supposons
. Si
est injective, on en déduit que
donc si de plus
est injective,
.
- Supposons
et
surjectives, c'est-à-dire
et
. Alors,
.
- Supposons
. Alors,
donc, si
est injective,
.
- Supposons
surjective. Alors,
.
- Supposons
injective et
surjective. Alors,
est bijective (d'après le point 3) donc
existe, ce qui permet d'écrire
, composée de deux injections donc injective (d'après le point 1).
- Supposons
surjective et
injective. Alors,
est bijective (d'après le point 4) donc
existe, ce qui permet d'écrire
, composée de deux surjections donc surjective (d'après le point 2).
- Si
,
et
sont bijectives alors
et
le sont, d'après 1 et 2. Réciproquement, supposons
et
bijectives. Alors,
est bijective d'après 3 et 4, donc
et
sont bijectives, d'après le sens direct.
Soit
une injection. On suppose
.
- Montrer qu'il existe une application
telle que
.
- En déduire que :
- pour toute application
, il existe une application
telle
;
est simplifiable à gauche, c'est-à-dire
;
- si
et s'il existe une injection de
dans
, alors il existe une surjection de
dans
.
- Qu'en est-il si
?
- Montrer que réciproquement, toute application simplifiable à gauche est injective.
Solution
- La condition
équivaut à : pour tout
,
est égal à l'unique antécédent de
par
. On peut donc définir
ainsi sur
, et compléter arbitrairement sur
, en posant par exemple, pour un élément fixé
(il en existe puisque
) :
.
-
convient.
.
- L'application
construite ci-dessus est surjective car
l'est (cf. exercice précédent).
- Si
alors, pour tout ensemble
, l'unique application
(de graphe
) est injective, mais il n'existe aucune application (et a fortiori, aucune surjection)
, sauf si
(dans ce cas, on aura bien
). Cependant, même si
,
est simplifiable à gauche car pour tout
, il existe au plus une application
(une si
et aucune si
).
- Soit
une application simplifiable à gauche. Pour tous
tels que
, notons
un singleton arbitraire (par exemple
) et définissons
par :
et
. Alors,
donc
, c'est-à-dire
.
Montrer qu'une application
est surjective si et seulement si elle est simplifiable à droite, c'est-à-dire
.
Étant données deux applications
, soit
. Montrer que :
- si
et
sont injectives alors
l'est ;
- la réciproque est vraie si
et
sont non vides ;
- si
et
sont surjectives alors
l'est ;
- la réciproque est vraie si
et
sont non vides.
Solution
- Supposons que
et
sont injectives et montrons que
l'est.
- Première méthode. Si
, c'est-à-dire si
, ou encore
et
alors
et
donc
.
- Seconde méthode (utilisant l'exercice 4). Si
ou
est vide alors
est évidemment injective (c'est l'application de
dans
, de graphe vide). Sinon, il existe
telles que
et
, d'où
.
- Supposons
injective et
et montrons que
est injective. Par hypothèse, il existe
. Si
alors
donc
donc
. On montre de même que si
est injective et
alors
est injective.
- Supposons que
et
sont surjectives et montrons que
l'est. Soit
. Puisque
, il existe (par surjectivité de
) au moins un
tel que
. De même, il existe
tel que
. Alors,
.
- Supposons
surjective et
et montrons que
est surjective. Par hypothèse, il existe
. Pour tout
, il existe alors (par surjectivité de
) au moins un
tel que
, d'où
. On montre de même que si
est surjective et
alors
est surjective.
Soient
,
et
trois ensembles.
- Montrer que si
alors l'application
est surjective, mais non injective en général.
- Qu'en est-il si
?
- Soit une application
. On lui associe une application
en posant :
. Vérifier que
(pour la notation
, cf. exercice précédent).
- A-t-on :
surjective
surjective ?
surjective
surjective ?
injective
surjective ?
injective
injective ?
Solution
- Supposons
et montrons que
est surjective. Par hypothèse, il existe au moins un
. Pour tout
, notons
l'application constante
. Alors,
.
En général,
n'est pas injective et même : il n'existe aucune injection de
dans
si
— par exemple si
.
- Si
alors
est l'application de
dans
, de graphe vide. Elle est toujours injective, mais n'est surjective que si
.
.
-
- On déduit des questions précédentes que si
et si
est surjective (donc
aussi d'après l'exercice précédent), alors
aussi.
(Lorsque
,
est surjective si et seulement si
, et
est surjective si et seulement si
.)
- La réciproque est fausse et même : dès que
, il existe des surjections
mais aucune de
dans
si
— par exemple si
.
- On déduit de la question 3 que si
est injective alors
aussi, donc
aussi si
.
(Lorsque
,
est toujours injective, mais
ne l'est que si
.)
- La réciproque est fausse en général, à cause de la non-injectivité de
. Par exemple lorsque
,
est toujours injective, mais
ne peut pas l'être si
.
Soient
et
deux parties d'un ensemble
et
.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur
et
pour que
soit :
- injective ;
- surjective ;
- bijective.
Solution
donc si
est injective alors
. Réciproquement, si
alors
est injective car pour tout
,
donc la donnée de
détermine complètement
.
- Si
est surjective, soit
tel que
. Alors,
donc
. Réciproquement, si
alors, pour tout
, on a
donc
, ce qui prouve que
est surjective.
- D'après les deux questions précédentes,
est bijective si et seulement si
et
sont complémentaires dans
.
Soit
.
est-elle injective ? surjective ?
- Montrer que
.
- Montrer que
, restriction de
, est une bijection.
- Retrouver ce résultat en étudiant les variations de
.
Solution
n'est ni injective (
pour tout
), ni surjective (
).
- Un réel
appartient à
si et seulement si l'équation
a des solutions, c'est-à-dire si
.
a
comme unique antécédent, et un réel non nul de
a deux antécédents dans
, inverses l'un de l'autre, donc un et un seul antécédent dans
.
donc
est continue et strictement croissante sur
, donc
est une bijection de
sur
.
Montrer que l'application
est bijective et expliciter la bijection réciproque.
Solution
Soient
et
.
.
Soient
,
et
. Démontrer que :
;
. Pourquoi faut-il supposer
?
Soit
. On définit
par :
.
Montrer que
est injective si et seulement si
est surjective.
Soit
une famille de sous-ensembles de
.
On considère l'application
.
À quelle condition
est-elle injective ? surjective ? En général, quelle est son image ?