En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Inégalité de Hadamard Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'objet principal de ce devoir est de démontrer le théorème suivant, publié par Jacques Hadamard en 1893[1].
Début d’un théorème
Théorème
Pour toute matrice ,
,
avec égalité si et seulement si les colonnes de sont deux à deux orthogonales[2],[3],[4],
Pour une matrice à coefficients réels, il s'interprète géométriquement en disant que le volume d'un parallélotope est maximal quand ses vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux.
Nous le déduirons d'un lemme connu lui aussi sous le nom d'inégalité de Hadamard[5],[6] :
Soit symétrique positive. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux valeurs propres de , on obtient , avec égalité si et seulement . Comme est diagonalisable, elle est alors égale à .
Soit symétrique positive. Remarquons d'abord que les sont , donc la matrice est bien définie et inversible, et la matrice est alors, elle aussi, symétrique définie positive car pour toute matrice colonne , . De plus, ses éléments diagonaux sont égaux à . En lui appliquant le lemme, on obtient donc , avec égalité si et seulement si , c'est-à-dire si est diagonale.
Une matrice est symétrique définie positive si et seulement si elle est de la forme avec , et l'on a alors et .
Si est telle que tous les sont alors, d'après le théorème de Hadamard, , avec égalité si et seulement si les colonnes de sont deux à deux orthogonales.
(en) Michał Różański, Roman Wituła et Edyta Hetmaniok, « More subtle versions of the Hadamard inequality », Linear Algebra and Its Applications, vol. 532, 2017, p. 500-511 [lien DOI]