Leçons de niveau 15

Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard

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Inégalité de Hadamard
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Devoir no3
Cours : Algèbre linéaire

Devoir de niveau 15.


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Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard
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L'objet principal de ce devoir est de démontrer le théorème suivant, publié par Jacques Hadamard en 1893[1].

Début d’un théorème
Fin du théorème

Pour une matrice à coefficients réels, il s'interprète géométriquement en disant que le volume d'un parallélotope est maximal quand ses vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux.

Nous le déduirons d'un lemme connu lui aussi sous le nom d'inégalité de Hadamard[5],[6] :

Début d'un lemme
Fin du lemme


  1. Démontrer le lemme à partir de l'inégalité arithmético-géométrique[7].
  1. En déduire le théorème, sous sa seconde forme (on posera et ).
  2. Montrer que la seconde forme du théorème équivaut à la première.
  3. Soit telle que tous les sont . Montrer que , avec égalité si et seulement si est une matrice de Hadamard[8].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Vladimir Maz'ya et Tatiana Chapochnikova, Jacques Hadamard, un mathématicien universel [« Jacques Hadamard: A Universal Mathematician »], EDP Sciences, 2005 [lire en ligne], p. 57 .
  2. (en) « Hadamard's theorem on determinants », sur Encyclopædia of Mathematics.
  3. Éric Billault, Oraux corrigés et commentés de mathématiques PC-PC*, Ellipses, 2019 [lire en ligne], p. 271-282 .
  4. (en) Frigyes Riesz et Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, 1990 (ISBN 0-486-66289-6) [lire en ligne], p. 176 .
  5. 5,0 et 5,1 Billault 2019, p. 297-303.
  6. À ne pas confondre avec l'inégalité de Hermite-Hadamard.
  7. Une autre preuve figure dans (en) Edwin F. Beckenbach et Richard Bellman, Inequalities, Springer, 1965 [lire en ligne], p. 63 .
  8. (en) D. J. H. Garling, Inequalities: A Journey into Linear Analysis, Cambridge University Press [lire en ligne], p. 233 .

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]