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Devoir : Exponentielles, approximations et intégrales
Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, approximations et intégrales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
— Ⅰ —
est une fonction dérivable sur
et positive.
est la primitive de
sur
telle que
.
1° Montrez que
est positive sur
.
2° En utilisant plusieurs fois la question précédente, et sachant que pour tout réel
, montrez -que :
- pour tout réel
![{\displaystyle x\geqslant 0,\,e^{x}\geqslant {\frac {x^{4}}{24}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a210faed8e1d6bd88b6ccd0bb06f7df02d4fef2f)
— Ⅱ —
est la fonction définie sur
par :
.
1° Étudiez la fonction
.
2° Déduisez de cette étude que l'équation
a une solution et une seule, noté
. Donnez une valeur approchée de
à 10-2 près.
3° L'unité de longueur choisie est 2 cm; tracez la courbe
représentative de
dans un repère orthonormal.
- Précisez, s'il y a lieu, les tangentes horizontales.
4°
est un réel strictement positif.
- On note D le domaine limité par la droite d'équation
, la courbe
, les droites d'équations
, et
.
- On note
l'aire, en cm2, du domaine D.
- a) Montrez que :
.
- b) On veut savoir s'il est possible de choisir
de façon à obtenir
.
- Sans calculer l'intégrale, montrez que :
lorsque ![{\displaystyle \lambda \leqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0567d993fc9fdcb88e923c4d1a0e1fb05f0674db)
lorsque
.
- De ces inégalités, déduisez que
cm2 est impossible.
— Ⅲ —
1°
et
désignent respectivement les dérivées première et seconde de
.
- Vérifiez que pour tout réel
:
.
2° On note
la primitive sur
de
qui s'annule pour
.
- Donnez la valeur explicite de
pour tout réel
.
3° Écrivez
sous forme d'intégrale.
- Retrouvez le résultat de la question précédente en calculant cette intégrale.
Corrigé
Le corrigé de
ce devoir
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» du modèle. Comment faire ?