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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction exponentielle : Dérivée de exp(u)
Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dérivée de x → eax+b
On considère des fonctions de paramètre a et b et de forme :
.
Par exemple, soit la fonction ƒ définie par :
- pour tout
.
ƒ est la fonction composée de la fonction affine
, définie sur
et de la fonction exponentielle, ce que l’on représente par le schéma :
Pour calculer l’expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :
Début d’un théorème
Théorème
Soient a et b deux réels.
Soit g une fonction définie par
sur un intervalle I.
Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et :
pour tout
![{\displaystyle x\in I,~g'(x)=a\cdot f'(ax+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba02d9a17c3619e6c4df14852ee0303e15b8444)
Fin du théorème
Dans notre cas particulier
- pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\cdot e^{2x+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387112ccf32916f8589abd038d23817d72aec57a)
Dérivée de ![{\displaystyle e^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a33ac52c2cec93735ab82b4050b7ea7746fbd2)
Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait pour tout
.
On généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine.
Début d’un théorème
Théorème
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors eu est dérivable sur I et :
![{\displaystyle (e^{u})'=u'\times e^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cde0cecf853594c3ae1f9abcb118e9e275a1bb)
Fin du théorème
Exemples
Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :
Exemple 1
- Pour tout
.
- Pour tout
![{\displaystyle x\in I,~u'(x)=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9021c3296ece839e0af457e1e55d8a3e4d3ed56e)
- Donc pour tout
![{\displaystyle x\in I,~f'(x)=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f00c8d78f35a60b725a07a7d69ffaa2e12da8c)
Exemple 2
Exemple 3
Exemple 4
Exemple 5
Exemple 6
Solution
On remarque que pour tout
Donc pour tout
Exemple : l’exponentielle décroissante
On considère la fonction définie sur
par
.
On a alors pour tout
et le tableau de variations :
Les limites aux bornes sont :
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{-x}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621607266371890328050aaeee85082e5f68dc4b)
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{-x}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a0fa03bbd19a601120ec3c26f0d86ba5dbcdbe)
Solution
Pour tout
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4108566485a7c3c58a7035610ce9aaf885623a)
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{-x}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19286d20a8bcbe465d188de713ca945a14004d3e)
On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…