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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En mettant ax2 + bx + c sous forme canonique et à l’aide d’un changement de variable élémentaire, on se ramène au calcul d’une intégrale d’une fonction sous l’une des formes suivantes :
.
Le changement de variable est choisi de façon à tirer parti de l'une des identités trigonométriques suivantes (circulaires ou hyperboliques, au choix), respectivement, dans chacun des trois cas :
;
;
.
Si l'intégrale est de la forme
,
on peut poser :
.
|
On a alors :
;
.
On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme
.
Début de l'exemple
Exemple
Calculer
.
Solution
En posant
, on obtient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\sqrt {3}}{\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}^{3}}}\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {\tan u}{{\sqrt {1+\tan ^{2}u}}^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {\tan u}{\left({\frac {1}{\cos u}}\right)^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan u\,\cos u\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin u\,\mathrm {d} u=\left[-\cos u\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&=-{\frac {1}{2}}+1={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13c6ad2186270cd0274f8f6ef518a3701549cdc)
Fin de l'exemple
Un autre changement de variable possible est de poser :
.
|
On a alors :
;
.
On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme
.
Début de l'exemple
Exemple
Calculer
.
Solution
En posant
, on obtient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\sqrt {3}}{\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}^{3}}}\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}}{\frac {\sinh u}{{\sqrt {1+\sinh ^{2}u}}^{3}}}\,\cosh u\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}}{\frac {\sinh u}{\cosh ^{3}u}}\,\cosh u\,\mathrm {d} u\\&=\int _{0}^{\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}}{\frac {\sinh u}{\cosh ^{2}u}}\,\mathrm {d} u=\left[-{\frac {1}{\cosh u}}\right]_{0}^{\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}}=-{\frac {1}{\cosh \operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}}}+{\frac {1}{\cosh 0}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {1+{\sqrt {3}}^{2}}}}+1=-{\frac {1}{2}}+1={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aae03d400f18f434f72acc8e6e9ee656a13fed4)
Fin de l'exemple
Si l'intégrale est de la forme
,
on peut poser :
.
|
On a alors :
;
.
On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme
.
Début de l'exemple
Exemple
Calculer
.
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{(x+1){\sqrt {4x+5-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x&=\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{(x+1){\sqrt {9-(x-2)^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{3(x+1){\sqrt {1-\left({\frac {x-2}{3}}\right)^{2}}}}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61699a6f11e23850d883c555e72d8c920f3edc10)
On pose alors :
.
De plus, quand
varie de
à
,
varie de
à
donc on peut faire varier
de
à
.
On a donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{(x+1){\sqrt {4x+5-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x&=\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{3(x+1){\sqrt {1-\left({\frac {x-2}{3}}\right)^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-{\frac {\pi }{6}}}^{0}{\frac {3\sin u+2-1}{3(3\sin u+2+1){\sqrt {1-\sin ^{2}u}}}}3\cos u\,\mathrm {d} u\\&=\int _{-{\frac {\pi }{6}}}^{0}{\frac {1+3\sin u}{3(3+3\sin u)\cos u}}3\cos u\,\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{3}}\int _{-{\frac {\pi }{6}}}^{0}{\frac {1+3\sin u}{1+\sin u}}\,\mathrm {d} u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10239112d7c0bbc9cf92d79381fcd6fbad8bfed)
Aucune des règles de Bioche ne s’applique ici. Par conséquent, on pose :
,
ce qui entraîne :
.
On a donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{(x+1){\sqrt {4x+5-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{3}}\int _{-{\frac {\pi }{6}}}^{0}{\frac {1+3\sin u}{1+\sin u}}\,\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{3}}\int _{-\tan {\frac {\pi }{12}}}^{0}{\frac {3{\frac {2y}{1+y^{2}}}+1}{{\frac {2y}{1+y^{2}}}+1}}\,{\frac {2\,\mathrm {d} y}{1+y^{2}}}\\&={\frac {2}{3}}\int _{{\sqrt {3}}-2}^{0}{\frac {6y+1+y^{2}}{(2y+1+y^{2})(1+y^{2})}}\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}\int _{{\sqrt {3}}-2}^{0}{\frac {y^{2}+6y+1}{(y+1)^{2}(y^{2}+1)}}\,\mathrm {d} y,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4874d7578824c14ffb79610c8d3e5e7f319c80)
qui se décompose en éléments simples sous la forme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\frac {1}{2}}^{2}{\frac {x-1}{(x+1){\sqrt {4x+5-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x&=2\int _{{\sqrt {3}}-2}^{0}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y+{\frac {4}{3}}\int _{{\sqrt {3}}-2}^{0}{\frac {-1}{(y+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y\\&=2\left[\arctan y\right]_{{\sqrt {3}}-2}^{0}+{\frac {4}{3}}\left[{\frac {1}{y+1}}\right]_{{\sqrt {3}}-2}^{0}\\&=2\times {\frac {\pi }{12}}+{\frac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}+{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e830c9a55d48ee7a5fd4d77c2fe7913aefeb2ace)
Fin de l'exemple
Un autre changement de variable possible est de poser
.
|
On a alors :
;
.
On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme :
.
Si l'intégrale est de la forme
,
on peut poser :
.
|
On a alors :
;
.
On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme
.
Début de l'exemple
Exemple
Calculer
.
Solution
En posant
,
on vérifie que pour que
varie de
à
, on peut faire varier
de
à
.
On obtient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\frac {2}{\sqrt {3}}}^{+\infty }{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}-1}}^{5}}}\,\mathrm {d} x&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\cos ^{2}u{\sqrt {{\frac {1}{\cos ^{2}u}}-1}}^{5}}}\,{\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{4}u\tan ^{5}u}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{4}u{\frac {\sin ^{5}u}{\cos ^{5}u}}}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\cos u\,\mathrm {d} u}{\sin ^{4}u}}\\&=\left[-{\frac {1}{3\sin ^{3}u}}\right]_{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{2}}\\&=-{\frac {1}{3}}+{\frac {8}{3}}\\&={\frac {7}{3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002d9380378eebf2f98191811b2c23ebfd3e7346)
Fin de l'exemple
Un autre changement de variable possible est de poser :
.
|
On a alors :
;
.
On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme
.
Début de l'exemple
Exemple
Calculer une primitive sur
de
.
Fin de l'exemple