Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale

Exercice 6-1

Soit $E=\mathbb {R} _{1}[X]$, et soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par $u(P)=P-P'$. Déterminer l'adjoint de $u$ pour les produits scalaires

$\varphi (P,Q)=P(0)Q(0)+P'(0)Q'(0)\qquad \mathrm {et} \qquad \psi (P,Q)=\int _{0}^{1}P(t)Q(t)\,\mathrm {d} t$.

Solution

Il s'agit, pour chacun des deux produits scalaires, de calculer les deux polynômes

$aX+b=u^{*}(1)\quad {\text{et}}\quad cX+d=u^{*}(X).$

1. Pour $\varphi$ :

   $b=\varphi (1,u^{*}(1))=\varphi (u(1),1)=1\quad {\text{et}}\quad a=\varphi (X,u^{*}(1))=\varphi (u(X),1)=-1$

   ${\text{donc}}\quad u^{*}(1)=1-X$.

   $d=\varphi (1,u^{*}(X))=\varphi (u(1),X)=0\quad {\text{et}}\quad c=\varphi (X,u^{*}(X))=\varphi (u(X),X)=1$

   ${\text{donc}}\quad u^{*}(X)=X$.

2. Pour $\psi$ :

   ${\frac {a}{2}}+b=\psi (1,u^{*}(1))=\psi (u(1),1)=1\quad {\text{et}}\quad {\frac {a}{3}}+{\frac {b}{2}}=\psi (X,u^{*}(1))=\psi (u(X),1)=-{\frac {1}{2}}$

   ${\text{donc}}\quad a=-12,\quad b=7\quad {\text{et}}\quad u^{*}(1)=7-12X$.

   ${\frac {c}{2}}+d=\psi (1,u^{*}(X))=\psi (u(1),X)={\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {c}{3}}+{\frac {d}{2}}=\psi (X,u^{*}(X))=\psi (u(X),X)=-{\frac {1}{6}}$

   ${\text{donc}}\quad c=-5,\quad d=3\quad {\text{et}}\quad u^{*}(X)=3-5X$.

 

Exercice 6-2

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice

$A={\begin{pmatrix}6&-2&2\\-2&5&0\\2&0&7\end{pmatrix}}$.

Solution

On calcule le polynôme caractéristique

$\det(A-\lambda \mathrm {I} _{3})=(3-\lambda )(6-\lambda )(9-\lambda )$.

Les valeurs propres de $A$ sont donc $3$, $6$ et $9$, et les sous-espaces propres associés sont des droites. On détermine comme d'habitude des vecteurs propres, que l'on norme ; on obtient

$v_{3}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2,2,-1),\quad v_{6}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(-1,2,2),\quad v_{9}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2,-1,2)$.

Ces vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux, comme il se doit. On a donc bien diagonalisé $A$ dans la base orthonormée $(v_{3},v_{6},v_{9})$.

 

Exercice 6-3

On se place dans $E=\mathbb {R} _{n}[X]$ muni du produit scalaire $\varphi (P,Q)=\int _{-1}^{1}P(x)Q(x)\,\mathrm {d} x$.

Soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par

$u(P)(X)=2XP'(X)+(X^{2}-1)P''(X)$.

1. Montrer que $u$ est diagonalisable et que si $A$ et $B$ sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors $\varphi (A,B)=0$.
2. Diagonaliser $u$ pour $n\leq 3$.

Solution

1. Il suffit de montrer que $u$ est autoadjoint. On remarque pour cela que $u(P)(X)$ est le polynôme dérivé de $(X^{2}-1)P'(X)$. Comme ce polynôme s’annule en $\pm 1$, une intégration par parties donne
   $\varphi (u(P),Q)=-\int _{-1}^{1}(X^{2}-1)P'(x)Q'(x)\,\mathrm {d} x$,
   qui est bien symétrique en $P$ et $Q$.
2. Comme $u$ envoie un polynôme de degré $d$ sur un polynôme de degré au plus $d$, il suffit de le diagonaliser pour $n=3$.
   On calcule $u(1)=0,\quad u(X)=2X,\quad u(X^{2})=6X^{2}-2,\quad u(X^{3})=12X^{3}-6X$.
   Les valeurs propres de $u$ sont donc $0,\quad 2,\quad 6,\quad 12$, et des vecteurs propres sont $v_{0}=1,\quad v_{2}=X,\quad v_{6}=X^{2}-{\frac {1}{2}},\quad v_{12}=X^{3}+{\frac {3}{5}}X$. Comme il se doit, ces vecteurs propres sont orthogonaux par rapport à $\varphi$ (on aurait pu aussi utiliser cette propriété pour les déterminer)

 

Exercice 6-4

On considère la matrice

$M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {5}{12}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {5}{12}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$.

1. Montrer que la suite $(M^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge. Que représente sa limite $N$ ?
2. Calculer $N$.
3. Soit $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de vecteurs tels que $v_{n+1}=M(v_{n})$. Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Solution

1. La matrice $M$ est symétrique, donc il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $M=PDP^{-1}$, avec $D$ diagonale. Alors $M=PD^{n}P^{-1}$, et cette suite converge si et seulement si la suite $(D^{n})$ converge, autrement dit si et seulement si les valeurs propres de $M$ appartiennent à l'intervalle $\left]-1,1\right]$. De plus, la limite $N$ est alors la projection orthogonale sur l'espace propre associé à la valeur propre $1$. Cette analyse suggère d'étudier la valeur propre $1$. On trouve comme sous-espace propre associé la droite engendrée par $v=(1,1,1)$. Comme on sait que $M$ est diagonalisable dans une base orthogonale, on se place dans l'orthogonal de $v$, qui est le plan engendré par les vecteurs $e=(1,-1,0)$ et $f=(0,1,-1)$. On constate alors que $M(f)=-f/12$, ce qui donne une deuxième valeur propre égale à $-1/12$. Comme la trace de $M$ est égale à $7/6$, la troisième valeur propre doit valoir $1/4$, et la droite propre associée doit être orthogonale à v et à $f$, donc engendrée par $g=(2,-1,-1)$. Comme les trois valeurs propres sont dans l'intervalle $\left]-1,1\right]$, la suite $(M^{n})$ converge bien, et sa limite $N$ est la projection orthogonale sur la droite engendrée par $v$.
2. On sait que $N(f)=N(g)=0$ et $N(v)=v$. On obtient la matrice de $N$ dans la base canonique $(e_{1},e_{2},e_{3})$ en inversant la matrice de passage.
   Comme $e_{1}={\frac {v+g}{3}}$, $e_{2}={\frac {2v+3f-g}{6}}$ et $e_{3}={\frac {2v-3f-g}{6}}$, on a $N(e_{1})=N(e_{2})=N(e_{3})={\frac {v}{3}}$. En conséquence, $N={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$.
3. Puisque $M^{n}\to N$, $v_{n}=M^{n}v_{0}\to Nv_{0}$, qui est le projeté orthogonal de $v_{0}$ sur la droite engendrée par $v$.

 

Exercice 6-5

Soient $a$ et $b$ des nombres réels. Diagonaliser la matrice

$M={\begin{pmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{pmatrix}}$.

En déduire $M^{n}$ pour tout entier $n$.

Solution

Le vecteur $v=(1,1,1)$ est manifestement un vecteur propre de $M$ pour la valeur propre $a+2b$. $M$ restreinte au plan $v^{\bot }$ est $a-b$ fois l'identité. Une base orthonormée de vecteurs propres est donc donnée par exemple par

$v_{1}={\frac {v}{\sqrt {3}}}$, $v_{2}={\frac {(0,1,-1)}{\sqrt {2}}}$, $v_{3}={\frac {(2,-1,1)}{\sqrt {6}}}$.

Si $P$ est la matrice de passage de la base canonique à la base $(v_{1},v_{2},v_{3})$, on a donc $P^{-1}MP=D$, avec $D$ la matrice diagonale à coefficients diagonaux $(a+2b,a-b,a-b)$. On en déduit que $M^{n}=PD^{n}P^{-1}$, ce qui donne :

$M^{n}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}(a+2b)^{n}&0&0\\0&(a-b)^{n}&0\\0&0&(a-b)^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}$

et donc après calcul :

$M^{n}={\frac {(a+2b)^{n}}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}+{\frac {(a-b)^{n}}{3}}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}$.

(Autre méthode : écrire $M=(a-b)\mathrm {I} _{3}+3bN$ et remarquer que $N$ est un projecteur.)

 

Exercice 6-6

On se place dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$. Soit $M$ une matrice symétrique définie positive.

1. Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive $N$ telle que $M=N^{2}$.
2. Montrer que $N$ est unique.
3. Calculer $N$ lorsque $M={\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}}$.

Solution

1. Comme $M$ est symétrique, il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^{-1}MP=D$ diagonale. De plus, comme $M$ est définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives, autrement dit les coefficients diagonaux de $D$ sont strictement positifs. En les remplaçant par leurs racines, on obtient une matrice diagonale $E$ telle que $D=E^{2}$. En posant alors $N=PEP^{-1}$, on a :
   • $N^{2}=PE^{2}P^{-1}=M$ ;
   • ${}^{\mathrm {t} }\!N={}^{\mathrm {t} }\!P^{-1}{}^{\mathrm {t} }\!E\,{}^{\mathrm {t} }\!P=PEP^{-1}=N$ donc $N$ est symétrique ;
   • $N$ est définie positive car ses valeurs propres sont strictement positives.
2. Réciproquement, soit $N$ symétrique positive telle que $M=N^{2}$. Alors il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^{-1}NP=E$ diagonale, d'où $P^{-1}MP=E^{2}$. Donc $N$ et $M$ ont les mêmes sous-espaces propres, et les valeurs propres associées pour $N$ sont les racines carrées de celles pour $M$. Ceci détermine entièrement $N$.
3. Les valeurs propres de $M$ sont $3\pm 2{\sqrt {2}}$, avec comme vecteurs propres associés $(1,-1\pm {\sqrt {2}})$.
   La matrice de passage est $P={\begin{pmatrix}1&1\\-1+{\sqrt {2}}&-1-{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ et l'on a $M=PDP^{-1}$ avec $D={\begin{pmatrix}3+2{\sqrt {2}}&0\\0&3-2{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$.

 

Exercice 6-7

Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques d'ordre $n$. On note $\alpha ^{-}$ et $\beta ^{-}$ leurs plus petites valeurs propres, $\alpha ^{+}$ et $\beta ^{+}$ leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre $\gamma$ de la matrice $A+B$, on a $\alpha ^{-}+\beta ^{-}\leq \gamma \leq \alpha ^{+}+\beta ^{+}$.

Solution

Soit $v$ un vecteur propre pour $A+B$ pour la valeur propre $\gamma$. Alors, $\gamma \|v\|^{2}=\langle (A+B)v,v\rangle =\langle Av,v\rangle +\langle Bv,v\rangle$ donc il suffit de démontrer que $\langle Av,v\rangle$ est compris entre $\alpha ^{-}\|v\|^{2}$ et $\alpha ^{+}\|v\|^{2}$ (on aura bien sûr l'analogue pour $B,\beta ^{-},\beta ^{+}$). Soient $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ les valeurs propres de $A$ et $(v_{1},\dots ,v_{n})$ les coordonnées de $v$ dans une base propre orthonormée associée. On a bien $\langle Av,v\rangle =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}v_{k}^{2}\leq \sum _{k=1}^{n}\alpha ^{+}v_{k}^{2}=\alpha ^{+}\|v\|^{2}$ et (de même) minoré par $\langle Av,v\rangle \geq \alpha ^{-}\|v\|^{2}$.