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f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).
Exemple
Début de l'exemple
Exemple
Soit la fonction définie sur ℝ par .
La fonction définie sur ℝ par est une primitive de sur ℝ.
La fonction définie sur ℝ par est une autre primitive de sur ℝ.
Fin de l'exemple
Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme :
F(x) + k (k étant un réel).
Primitive prenant une valeur donnée en un point
Proposition
Soit une fonction admettant des primitives sur un intervalle .
Pour tout et tout , il existe (sur ) une primitive de et une seule telle que .
Début de l'exemple
Exemple
On définit la fonction sur ℝ par .
Déterminer la primitive de telle que .
Solution
Les primitives de sur ℝ sont les fonctions définies sur ℝ par ( est un réel).
.
La primitive de telle que est donc , c'est-à-dire la fonction définie sur ℝ par .
Fin de l'exemple
Calculs de primitives
l'une des primitives de la fonction est...
sur l'intervalle...
()
ℝ
()
ℝ
( nombre entier avec )
]-∞, 0[ ou ]0, +∞[
]0, +∞[
]0, +∞[
ℝ
ℝ
ℝ
Exemple
Début de l'exemple
Exemple
Soit définie sur ℝ par .
Les primitives de sur ℝ sont les fonctions de la forme
où est une constante appartenant à ℝ.
Fin de l'exemple
Primitives et opérations sur les fonctions:
Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I.
Primitives des fonctions composées
Soit une fonction dérivable sur I.
f(x)=...
F(x)=...
Condition :
(n ∈ ℕ*)
(n entier ≥ 2)
sur
sur
sur
Exemples
Début de l'exemple
Exemple
Soit
Avec ici :
et .
Donc l'une des primitives de sur ]-∞, –1[ ou ]1, +∞[ est
,
soit : .
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
Soit .
Avec ici :
et .
Donc l'une des primitives de sur ℝ est
,
soit : .
Fin de l'exemple
Méthode pour les fonctions composées
On commence par identifier la formule à utiliser.
Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.