En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Espaces hermitiens Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1-1
On pose et l'on définit par :
.
Démontrer qu'il existe une forme hermitienne telle que pour tout , .
Donner la matrice de dans la base canonique.
Déterminer une base orthonormale pour .
Solution
Par la formule de polarisation ou directement, la forme hermitienne cherchée est :
.
Sa matrice dans la base canonique est .
Par l'algorithme de Gauss, avec , soit donc est un produit scalaire hermitien et admet pour base orthonormale :
.
Une autre méthode possible est d'appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt à une base arbitraire de (par exemple la base canonique).
Exercice 1-2
Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique hermitienne q sur E dans les cas suivants :
et ;
et ;
et .
Solution
Appliquons l'algorithme de Gauss : donc et .
De même : donc et .
q est associée au produit scalaire hermitien canonique sur donc et .
Exercice 1-3
Soit le -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .
Vérifier que définit un produit scalaire hermitien sur et que la base est orthonormée pour ce produit scalaire.
Soit ; calculer .
On pose . Montrer que et étudier les cas d'égalité.
Solution
Immédiat.
D'après la question précédente,
D'après la question précédente, donc , et si alors les sont nuls c.-à-d. . Réciproquement, si alors (évidemment) .
Exercice 1-4
L'ensemble des matrices hermitiennes est-il un sous--espace de ?
Démontrer que c'en est un sous--espace et calculer sa dimension.
Démontrer que l'ensemble des matrices antihermitiennes, c.-à-d. vérifiant , en est un supplémentaire.
Solution
Non : par exemple est hermitienne mais ne l'est pas.
L'ensemble des matrices hermitiennes est un sous--espace car c'est un sous-espace propre (pour la valeur propre 1) de l'application -linéaire . Sa dimension est car pour une matrice hermitienne, la diagonale doit être réelle puis on doit se donner un complexe (soit deux réels) pour la partie triangulaire supérieure.
Soit un espace hermitien et un endomorphisme de . On suppose que tout vecteur de est orthogonal à son image par .
Démontrer que pour tous et de .
En déduire que est l'endomorphisme nul.
Que penser de l'énoncé analogue sur un espace euclidien ?
Solution
Pour tous et de , donc (en remplaçant par ) . En divisant cette seconde égalité par puis en lui ajoutant la première, on en déduit que .
En particulier, donc .
Dans le cas réel, ce n'est plus vrai. Par exemple, en dimension 2, la rotation d'angle envoie tout vecteur sur un vecteur orthogonal et n'est évidemment pas nulle.
Exercice 1-6
Dans muni de sa structure hermitienne standard et de sa base canonique, on note le plan d'équation .
Déterminer l'orthogonal de .
Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur dans la base canonique.
Trouver une base orthogonale de .
Solution
où , donc .
donc a pour matrice (dans la base canonique) .
Pour construire une base orthogonale de , choisissons d'abord dans un vecteur non nul, par exemple . Puis cherchons dans un vecteur orthogonal à : ( et ) équivaut à ( et ), d'où la solution par exemple.
Exercice 1-7
Pour une matrice complexe , notons .
Soit . Démontrer que est la matrice d'un produit scalaire réel.
Que devient cet énoncé si ?
Solution
Si alors est égale à , qui est réelle symétrique et inversible. De plus, pour tout vecteur réel , .
Si alors est la matrice d'un produit scalaire hermitien. En effet, elle est hermitienne et inversible, et pour tout vecteur complexe , .
Montrer que les valeurs propres de sont réelles. On les notera dans la suite .
Montrer que pour tout vecteur non nul de , .
Trouver un tel que l'inégalité ci-dessus soit une égalité.
Soit un endomorphisme quelconque de .
Montrer que pour tout , .
Monter que l'endomorphisme de est hermitien positif. (Un endomorphisme hermitien est dit positif si toutes ses valeurs propres (réelles) sont positives.)
En déduire que .
Application à endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .
Solution
Soient une valeur propre de et un vecteur propre associé. Alors, . Mais comme est hermitien (), est aussi égal à , ce qui prouve que , c.-à-d. .
Soit une base orthonormée de telle que . Pour tout , .
L'inégalité précédente est une égalité si et seulement si tous les correspondant à des sont nuls, c.-à-d. si est propre pour (par exemple : ).
est hermitien car . Montrons qu'il est positif : soit une valeur propre de et un vecteur propre associé ; donc .
Comme est hermitien, on a, d'après la question 1, . Grâce à la question 2.1, on en déduit l'égalité voulue.
La matrice est de rang 1 donc 0 est valeur propre de la matrice , l'autre valeur propre étant par conséquent , si bien que .
Exercice 1-9
Soit une matrice unitaire de déterminant . Montrer qu'il existe tels que et .
Solution
avec et , c.-à-d. et .
Exercice 1-10
Soit . Trouver une matrice unitaire et une matrice diagonale telles que .
Même question avec la matrice .
Solution
et sont hermitiennes donc à valeurs propres réelles, et diagonalisables dans une base orthonormée, c.-à-d. avec une matrice de passage unitaire.
. Le sous-espace propre associé à la valeur propre est la droite d'équations , donc engendrée par le vecteur . Le sous-espace propre associé à est donc le plan , d'équation . Pour construire une base orthogonale de ce plan, procédons comme dans l'exercice 6 question 3. On choisit d'abord par exemple , puis on résout et l'on trouve . Une base orthonormée propre pour est donc , et avec .
est de rang donc est valeur propre double, l'autre valeur propre étant par conséquent . Le sous-espace propre associé à cette valeur propre est la droite d'équations , donc engendrée par le vecteur . Le sous-espace propre associé à est donc le plan , d'équation . , . avec . Ou plus simplement : donc .
Soit une matrice hermitienne positive. Montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne positive telle que . On dit alors que est la racine carrée de .
Soit . Montrer qu'il existe un unique couple de matrices , avec unitaire et hermitienne positive, tel que (on montrera que si un tel existe alors est la racine carrée de ).
Solution
Dans les deux questions, procédons par analyse-synthèse.
Si est une matrice hermitienne positive de carré alors pour chaque valeur propre de , pour tout vecteur du sous-espace propre associé, on a . Donc et ont mêmes sous-espaces propres et les valeurs propres de sont les racines carrées de celles de . Ceci prouve l'unicité de . Réciproquement, par construction, la matrice ainsi définie est bien hermitienne positive et de carré .
Pour un tel , donc est la racine carrée de , et ( est bien inversible car l'est). Réciproquement, pour les matrices ainsi définies (racine carrée de , qui est bien hermitienne positive, comme remarqué lors de l'exercice 8, question 2.1) et (telle que ), est bien unitaire car .
En particulier, . Autrement dit : et sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre. Leur intersection est donc réduite à , c.-à-d. que si alors , ou encore : . L'inclusion réciproque étant toujours vraie, on a donc .
. De même, . Donc .
Exercice 1-13
Soit .
Montrer qu'il existe un unique couple de matrices hermitiennes tel que .
Montrer que est normale si et seulement si .
Solution
Il s'agit de montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne telle que , c.-à-d. telle que . Il suffit donc de vérifier que est bien hermitienne, ce qui est immédiat.
.
Exercice 1-14
Trouver toutes les matrices réelles normales de taille 2.
Dans , quel sous-espace vectoriel les matrices normales engendrent-elles ?
Solution
Une matrice réelle est normale si et seulement si , ce qui équivaut à et , c.-à-d. ou ( et ).
Ces matrices engendrent tout entier car parmi elles figurent les matrices symétriques et les matrices antisymétriques.