Vecteurs et repérage/Exercices/Parallélogramme

Exercice 1

Soient, dans le plan, un parallélogramme ABCD et un point P.

La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC) en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H.

Démontrer que les droites (EH), (FG) et (AC) sont concourantes ou parallèles.

Solution

Soient (a, b) les coordonnées de P dans le repère $\left(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}}\right)$. Alors (faire une figure), celles de A, C, E, F, G et H sont respectivement :

A(0, 0), C(1, 1), E(0, b), F(1, b), G(a, 0) et H(a, 1)

donc les équations des trois droites sont :

• $(EH):(b-1)x+ay-ab=0$ ;
• $(FG):bx+(a-1)y-ab=0$ ;
• $(AC):x-y=0$.

Par conséquent :

• si $a+b=1$, les trois droites sont parallèles ;
• si $a+b\neq 1$, elles sont concourantes au point de coordonnées $x=y={\frac {ab}{a+b-1}}$.