Vecteurs et repérage/Exercices/Point défini par une relation vectorielle

Soient dans un repère du plan, les points A(1 ; 2) , B(4 ; 3) et C(6 ; 6).

1. a) Placer ces points.

Solution

Voir le schéma dans la solution de la question d.

 

b) Placer le point D défini par ${\overrightarrow {CD}}=2{\overrightarrow {BA}}$ .

Solution

On trace le vecteur 2 ${\overrightarrow {BA}}$ , puis on en trace le représentant d’origine C. On en déduit le point D.

 

c) Placer le point E défini par ${\overrightarrow {BE}}=-1,5{\overrightarrow {BC}}$

Solution

On trace le vecteur $-1,5{\overrightarrow {BC}}$ , puis on en trace le représentant d’origine B. On déduit le point E.

 

d) Placer le point F défini par ${\overrightarrow {AF}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {BC}}-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {AB}}$

Solution

On trace les vecteurs ${\frac {2}{3}}{\overrightarrow {BC}}$ et ${\frac {3}{2}}{\overrightarrow {AB}}$, puis on les additionne, puis on trace le représentant d’origine A. On en déduit le point F.

 

2. Déterminer par le calcul les coordonnées de D, E et F.

Solution

On pose D(x,y), on calcule les composantes du vecteur ${\overrightarrow {BA}}\left({\begin{array}{c}{1-4}\\{2-3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{-3}\\{-1}\end{array}}\right)$ ,

puis $2{\overrightarrow {BA}}\left({\begin{array}{c}{-6}\\{-2}\end{array}}\right)$ , puis ${\overrightarrow {CD}}\left({\begin{array}{l}{x-6}\\{y-6}\end{array}}\right)$ ,

la relation ${\overrightarrow {CD}}=2{\overrightarrow {BA}}$

donne les équations : $x-6=-6$ et $y-6=-2$

On résout  : $x=0$ et $y=4$ les coordonnées de D sont donc : (0 ; 4)

On procède de la même manière pour E: ${\overrightarrow {BC}}\left({\begin{array}{c}{6-4}\\{6-3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}}\right)$donc $-1,5{\overrightarrow {BC}}\left({\begin{array}{c}{-3}\\{-4,5}\end{array}}\right)$

et si on pose E(x,y) on a ${\overrightarrow {BE}}\left({\begin{array}{l}{x-4}\\{y-3}\end{array}}\right)$.

On résout : $x-4=-3$ et $y-3=-4,5$ donc $x=1$ et $y=-1,5$ donc E(1 ; -1,5).

On procède de la même manière pour F : ${\overrightarrow {BC}}\left({\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}}\right)$donc ${\frac {2}{3}}{\overrightarrow {BC}}\left({\begin{array}{l}{\frac {4}{3}}\\{2}\end{array}}\right)$

${\overrightarrow {AB}}\left({\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}}\right)$ donc $-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {AB}}\left({\begin{array}{c}{-{\frac {9}{2}}}\\{-{\frac {3}{2}}}\end{array}}\right)$donc${\frac {2}{3}}{\overrightarrow {BC}}-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {AB}}\left({\begin{array}{c}{{\frac {4}{3}}-{\frac {9}{2}}}\\{2-{\frac {3}{2}}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{-{\frac {19}{6}}}\\{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)$

et si on pose F(x,y) , on a ${\overrightarrow {AF}}\left({\begin{array}{l}{x-1}\\{y-2}\end{array}}\right)$

On résout : $x-1=-{\frac {19}{6}}$ et $y-2={\frac {1}{2}}$donc

$x=-{\frac {13}{6}}$ et $y={\frac {5}{2}}$

donc $F\left(-{\frac {13}{6}};{\frac {5}{2}}\right)$.

On vérifie sur le graphique.