Vecteurs et repérage/Exercices/Point défini par une relation vectorielle

Soient dans un repère du plan, les points A(1 ; 2) , B(4 ; 3) et C(6 ; 6).

1. a) Placer ces points.

Solution

Voir le schéma dans la solution de la question d.

 

b) Placer le point D défini par $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{BA}$ .

Solution

On trace le vecteur 2 $\overrightarrow{BA}$ , puis on en trace le représentant d’origine C. On en déduit le point D.

 

c) Placer le point E défini par $\overrightarrow{BE}=-1,5\overrightarrow{BC}$

Solution

On trace le vecteur $-1,5\overrightarrow{BC}$ , puis on en trace le représentant d’origine B. On déduit le point E.

 

d) Placer le point F défini par $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$

Solution

On trace les vecteurs $\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$, puis on les additionne, puis on trace le représentant d’origine A. On en déduit le point F.

 

2. Déterminer par le calcul les coordonnées de D, E et F.

Solution

On pose D(x,y), on calcule les composantes du vecteur $\overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}1-4\\ 2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\end{array}\right)$ ,

puis $2\overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\end{array}\right)$ , puis $\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}x-6\\ y-6\end{array}\right)$ ,

la relation $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{BA}$

donne les équations : $x-6=-6$ et $y-6=-2$

On résout : $x=0$ et $y=4$ les coordonnées de D sont donc : (0 ; 4)

On procède de la même manière pour E: $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}6-4\\ 6-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$donc $-1,5\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}-3\\ -4,5\end{array}\right)$

et si on pose E(x,y) on a $\overrightarrow{BE}\left(\begin{array}{c}x-4\\ y-3\end{array}\right)$.

On résout : $x-4=-3$ et $y-3=-4,5$ donc $x=1$ et $y=-1,5$ donc E(1 ; -1,5).

On procède de la même manière pour F : $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$donc $\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ donc $-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}-\frac{9}{2}\\ -\frac{3}{2}\end{array}\right)$donc$\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}\frac{4}{3}-\frac{9}{2}\\ 2-\frac{3}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{19}{6}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$

et si on pose F(x,y) , on a $\overrightarrow{AF}\left(\begin{array}{c}x-1\\ y-2\end{array}\right)$

On résout : $x-1=-\frac{19}{6}$ et $y-2=\frac{1}{2}$donc

$x=-\frac{13}{6}$ et $y=\frac{5}{2}$

donc $F(-\frac{13}{6};\frac{5}{2})$.

On vérifie sur le graphique.