Identités remarquables/Exercices/Sujet de brevet

Exercice 1

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet, série collège (2000).

Soit D = $9x^{2}-1$

a) Quelle identité remarquable permet de factoriser D ?

Solution

D est sous la forme $a^{2}-b^{2}$

 

b) Factoriser D.

Solution

$D=9x^{2}-1$

$=\left(3x\right)^{2}-\left(1\right)^{2}$

$=\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)$

 

Soit $E=\left(3x+1\right)^{2}+9x^{2}-1$

c) Développer E.

Solution

c) $E=\left(3x+1\right)^{2}+9x^{2}-1$

$=\left(9x^{2}+2\times 3x\times 1+1\right)+9x^{2}-1$

$=9x^{2}+6x+1+9x^{2}-1$

$=18x^{2}+6x$

 

d) Factoriser E.

Solution

$E=18x^{2}+6x$

$E=6x\left(3x+1\right)$

 

e) Déterminer les solutions de l'équation $6x\left(3x+1\right)=0$

Solution

$6x\left(3x+1\right)=0$

${\begin{cases}6x=0\\3x+1=0\end{cases}}$

${\begin{cases}x=0\\3x=-1\end{cases}}$

${\begin{cases}x=0\\x={\frac {-1}{3}}\end{cases}}$

$S=\left\{0;{\frac {-1}{3}}\right\}$

 

Exercice 2

On donne l’expression suivante : $K\left(x\right)=\left(5x-3\right)^{2}+6\left(5x-3\right)$.

Développer et réduire l’expression K(x).

Solution

$K\left(x\right)=\left(5x-3\right)^{2}+6\left(5x-3\right)$

= $\left(25x^{2}-2\times 5x\times 3+9\right)+6\left(5x-3\right)$

= $25x^{2}-30x+9+30x-18$

= $25x^{2}-9$

 

Calculer$K\left({\sqrt {2}}\right)$

Solution

$K\left({\sqrt {2}}\right)=25\left({\sqrt {2}}\right)^{2}-9$

$K\left({\sqrt {2}}\right)=25\times 2-9$

$K\left({\sqrt {2}}\right)$ = 41

 

Exercice 3

Développer et réduire : $\left(3-{\sqrt {5}}\right)^{2}$.

Solution

$\left(3-{\sqrt {5}}\right)^{2}$

= $3^{2}-2\times 3\times {\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}^{2}$

= $9-6\times {\sqrt {5}}+5$

= $14-6\times {\sqrt {5}}$

 

Exercice 4

On considère l’expression : $E=\left(x-3\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Développer et réduire E.

Solution

$E=\left(x-3\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

= $\left(x^{2}-2\times 3\times x+9\right)-\left(x^{2}-2x-x+2\right)$

= $x^{2}-6x+9-x^{2}+2x+x-2$

= $-3x+7$

 

Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de $99997^{2}-99999\times 99998$.

Solution

Il suffit de prendre x = 1000000

$99997^{2}-99999\times 99998=-3\times 1000000+7$

$99997^{2}-99999\times 99998=-2999993$

 

Exercice 5

Factoriser l’expression : $F=\left(4x+1\right)^{2}-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)$

Solution

$F=\left(4x+1\right)^{2}-\left(4x+1\right)\left(7x-6\right)$

= $\left[4x+1\right]\left[\left(4x+1\right)-\left(7x-6\right)\right]$

 

Résoudre l'équation : $\left(4x+1\right)\left(7-3x\right)=0$

Solution

$\left(4x+1\right)\left(7-3x\right)=0$

${\begin{cases}4x+1=0\\7-3x=0\end{cases}}$

${\begin{cases}4x=-1\\-3x=-7\end{cases}}$

${\begin{cases}x=-{\frac {1}{4}}\\x={\frac {7}{3}}\end{cases}}$

 

Exercice 6

Calculer : $\left(4-{\sqrt {5}}\right)^{2}$

Solution

$\left(4-{\sqrt {5}}\right)^{2}$

= $4^{2}-2\times 4\times {\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}^{2}$

= $16-8{\sqrt {5}}+5$

= $21-8{\sqrt {5}}$

 

Exercice 7

On donne $F=\left(4x-3\right)^{2}-\left(x+3\right)\left(3-9x\right)$

Développer et réduire $\left(4x-3\right)^{2}$

Solution

$\left(4x-3\right)^{2}$

= $16x^{2}-2\times 4x\times 3+9$

= $16x^{2}-24x+9$

 

Montrer que $F=\left(5x\right)^{2}$

Solution

$F=\left(4x-3\right)^{2}-\left(x+3\right)\left(3-9x\right)$

=$16x^{2}-24x+9-\left(x+3\right)\left(3-9x\right)$

=$16x^{2}-24x+9-\left(3x-9x^{2}+9-27x\right)$

=$16x^{2}-24x+9-3x+9x^{2}-9+27x$

=$25x^{2}$

=$\left(5x\right)^{2}$

 

Trouvez les valeurs de x pour lesquelles F = 125

Solution

$F=\left(5x\right)^{2}$

$\left(5x\right)^{2}=125$

$\left(5x\right)=\pm {\sqrt {125}}$

$\left(5x\right)=\pm {\sqrt {25\times 5}}$

$5x=\pm 5{\sqrt {5}}$

$x=\pm {\sqrt {5}}$

 

Exercice 8

Soit l’expression $E=\left(x-1\right)^{2}-4$.

Calculer $E$ pour $x=0$.

Solution

$E=(x-1)^{2}-4$

$E=(-1)^{2}-4$

$E=1-4$

$E=-3$

 

Calculer la valeur exacte de $E$ pour $x={\sqrt {2}}$.

Solution

$E=\left(x-1\right)^{2}-4$

$E=\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}-4$

$E=\left(({\sqrt {2}})^{2}-2\times {\sqrt {2}}\times 1+1^{2}\right)-4$

$E=\left(2-2{\sqrt {2}}+1\right)-4$

$E=-1-2{\sqrt {2}}$

 

Factoriser $E$.

Solution

$E=(x-1)^{2}-4$

$E=(x-1)^{2}-2^{2}$

$E=(x-1-2)(x-1+2)$

$E=(x-3)(x+1)$

 

Résoudre l'équation : $(x+1)(x-3)=0$.

Solution

${\begin{cases}x+1=0\\x-3=0\end{cases}}$

${\begin{cases}x=-1\\x=3\end{cases}}$

 

Exercice 9

On considère l’expression : $E=(2x-3)(5-2x)-(2x-3)^{2}$

Développer et réduire E

Solution

$E=(2x-3)(5-2x)-(2x-3)^{2}$

= $(10x-4x^{2}-15+6x)-(4x^{2}-12x+9)$

= $-8x^{2}+28x-24$

 

Factoriser E.

Solution

$E=(2x-3)(5-2x)-(2x-3)2$

= $\left[2x-3\right]\left[\left(5-2x\right)-\left(2x-3\right)\right]$

= $\left[2x-3\right]\left[8-4x\right]$

 

Résoudre l'équation (2x - 3) (-4x + 8) = 0

Solution

${\begin{cases}2x-3=0\\-4x+8=0\end{cases}}$

${\begin{cases}2x=3\\-4x=-8\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {3}{2}}\\x=2\end{cases}}$

 

Exercice 10

On donne l’expression suivante :

$F=(2x+3)^{2}-(x+5)(2x+3)$

Développer et réduire.

Solution

$F=(2x+3)^{2}-(x+5)(2x+3)$

= $(4x^{2}+12x+9)-(2x^{2}+3x+10x+15)$

= $2x^{2}-x-6$

 

Factoriser

Solution

$F=(2x+3)^{2}-(x+5)(2x+3)$

= $\left[2x+3\right]\left[(2x+3)-(x+5)\right]$

= $\left[2x+3\right]\left[x-2]\right]$

 

Résoudre l'équation (2x + 3)(x-2) = 0.

Solution

${\begin{cases}2x+3=0\\x-2=0\end{cases}}$

${\begin{cases}2x=-3\\x=2\end{cases}}$

${\begin{cases}x=-{\frac {3}{2}}\\x=2\end{cases}}$

 

Exercice 11

On pose $E=(5x-2)(x+7)+(5x-2)^{2}$.

Développer et réduire E.

Solution

${\begin{aligned}&E=(5x-2)(x+7)+(5x-2)^{2}\\&E=(5x^{2}+35x-2x-14)+(25x^{2}-20x+4)\\&E=30x^{2}+13x-10\\\end{aligned}}$

 

Factoriser E.

Solution

${\begin{aligned}&E=(5x-2)(x+7)+(5x-2)^{2}\\&E=(5x-2)((x+7)+(5x-2))\\&E=(5x-2)(6x+5)\\\end{aligned}}$

 

Calculer E pour $x={\frac {2}{5}}$

Solution

${\begin{aligned}&E=(5x-2)(6x+5)\\&E=(5\times {\frac {2}{5}}-2)(6\times {\frac {2}{5}}+5)\\&E=0\times ({\frac {12}{5}}+5)\\&E=0\\\end{aligned}}$

 

Résoudre l'équation $(5x-2)(6x+5)=0$.

Solution

${\begin{cases}5x-2=0\\6x+5=0\end{cases}}$

${\begin{cases}5x=2\\6x=-5\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {2}{5}}\\x={\frac {-5}{6}}\end{cases}}$

$S=\{{\frac {2}{5}};{\frac {-5}{6}}\}$

 

Exercice 12

Développer en utilisant les identités remarquables, puis simplifier.

a) $(2x+3)^{2}+5(x-7)^{2}$

Solution

${\begin{aligned}&A=(2x+3)^{2}+5(x-7)^{2}\\&A=(4x^{2}+12x+9)+5(x^{2}-14x+49)\\&A=4x^{2}+12x+9+5x^{2}-70x+245)\\&A=9x^{2}-58x+254\\\end{aligned}}$

 

b) $(3x-5)^{2}-(2x-3)(2x+3)$

Solution

${\begin{aligned}&B=(3x-5)^{2}-(2x-3)(2x+3)\\&B=(9x^{2}-30x+25)-(4x^{2}-9)\\&B=5x^{2}-30x+34\\\end{aligned}}$

 

Exercice 13

Développer en utilisant les identités remarquables, puis simplifier.

a) $(2x+7)^{2}+5(x-3)^{2}$

Solution

${\begin{aligned}&A=(2x+7)^{2}+5(x-3)^{2}\\&A=(4x^{2}+28x+49)+5(x^{2}-6x+9)\\&A=4x^{2}+28x+49+5x^{2}-30x+45\\&A=9x^{2}-2x+94\\\end{aligned}}$

 

b) $(5x-3)^{2}-(3x-2)(3x+2)$

Solution

${\begin{aligned}&B=(5x-3)^{2}-(3x-2)(3x+2)\\&B=(25x^{2}-30x+9)-(9x^{2}-4)\\&B=16x^{2}-30x+13\\\end{aligned}}$

 

Exercice 14

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1995).

Soit P= $(x-2)(2x+1)-(2x+1)^{2}$

a) Développer et réduire l’expression P.

Solution

P= $(x-2)(2x+1)-(2x+1)^{2}$

P= $2x^{2}+x-4x-2-(4x^{2}+4x+1)$

P= $2x^{2}+x-4x-2-4x^{2}-4x-1)$

P= $-2x^{2}-7x-3$

 

b) Factoriser P.

Solution

P= $(x-2)(2x+1)-(2x+1)^{2}$

P= $(2x+1)\left[(x-2)-(2x+1)\right]$

P= $(2x+1)\left[-x-3\right]$

P= $(2x+1)(-x-3)$

 

c) Résoudre l'équation $(2x+1)(x+3)=0$

Solution

${\begin{cases}2x+1=0\\x+3=0\end{cases}}$

${\begin{cases}x=-{\frac {1}{2}}\\x=-3\end{cases}}$

 

d) Pour $x=-{\frac {3}{7}}$ écrire la valeur de P sous forme fractionnaire

Solution

P= $(x-2)(2x+1)-(2x+1)^{2}$

P= $({\frac {-3}{7}}-2)(2{\frac {-3}{7}}+1)-(2{\frac {-3}{7}}+1)^{2}$

P= $(-{\frac {3}{7}}-{\frac {14}{7}})(-{\frac {6}{7}}+{\frac {7}{7}})-({\frac {-6}{7}}+{\frac {7}{7}})^{2}$

P= $(-{\frac {17}{7}})({\frac {1}{7}})-({\frac {1}{7}})^{2}$

P= $-{\frac {17\times 1}{7\times 7}}-{\frac {1^{2}}{7^{2}}}$

P= $-{\frac {-17}{49}}+{\frac {-1}{49}}$

P= ${\frac {-18}{49}}$

 

Exercice 15

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1995).

Soir l’expression F = $(2x-5)^{2}-x(2x-5)$

a) Développer et réduire F.

Solution

F = $(2x-5)^{2}-x(2x-5)$

F = $4x^{2}-20x+25-2x^{2}+5x$

F = $2x^{2}-15x+25$

 

b) Factoriser F.

Solution

F = $(2x-5)^{2}-x(2x-5)$

F = $(2x-5)\left[(2x-5)-x\right]$

F = $(2x-5)\left[x-5\right]$

F = $(2x-5)(x-5)$

 

c) Résoudre l'équation $(2x-5)(x-5)=0$

Solution

${\begin{cases}2x-5=0\\x-5=0\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {5}{2}}\\x=5\end{cases}}$