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Équations et fonctions du second degré : Équations du second degré Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définitions
Racines d'une fonction polynomiale
Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0 .
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l’axe des abscisses (horizontal).
Discriminant
Wikipedia-logo-v2.svg
Soit f une fonction polynomiale définie par
f
:
x
↦
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f:x\mapsto ax^{2}+bx+c}
, avec
a , b , c trois réels
a non nul .
Le discriminant de f est le réel
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
.
Début de l'exemple
Exemple
Soit
f
(
x
)
=
5
x
2
+
7
x
+
8
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+7x+8}
.
f est un polynôme du second degré, de coefficients a = 5, b = 7 et c = 8. Son discriminant est :
Δ
=
7
2
−
4
×
5
×
8
=
49
−
160
=
−
111
{\displaystyle \Delta =7^{2}-4\times 5\times 8=49-160=-111}
.
Fin de l'exemple
Discriminant et racines
On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).
Rappel
La forme canonique de la fonction trinôme
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
est
f
(
x
)
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
]
{\displaystyle f(x)=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]}
.
On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :
Wikipedia-logo-v2.svg
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
+
c
a
)
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
]
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
2
+
c
a
]
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
(
b
2
−
4
a
c
4
a
2
)
]
=
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right].\end{aligned}}}
Début de l'exemple
Exemple
Donner la forme canonique des expressions suivantes :
f (x ) = x 2 + 5x + 5 ;
g (x ) = −3x 2 + 6x − 2.
Solution
f est une fonction du second degré avec a = 1, b = 5 et c = 5.
f
(
x
)
=
x
2
+
5
x
+
5
{\displaystyle f(x)=x^{2}+5x+5}
or
x
2
+
5
x
+
25
4
=
(
x
+
5
2
)
2
{\displaystyle x^{2}+5x+{\frac {25}{4}}=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}}
donc
x
2
+
5
x
=
(
x
+
5
2
)
2
−
25
4
{\displaystyle x^{2}+5x=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {25}{4}}}
et par conséquent,
f
(
x
)
=
(
x
+
5
2
)
2
+
5
=
(
x
+
5
2
)
2
−
25
4
+
20
4
=
(
x
+
5
2
)
2
−
5
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}+5\\&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {25}{4}}+{\tfrac {20}{4}}\\&=(x+{\tfrac {5}{2}})^{2}-{\tfrac {5}{4}}.\end{aligned}}}
g est une fonction du second degré avec a = −3, b = 6 et c = −2.
g
(
x
)
=
−
3
x
2
+
6
x
−
2
=
−
3
(
x
2
−
2
x
)
−
2
{\displaystyle g(x)=-3x^{2}+6x-2=-3(x^{2}-2x)-2}
or
x
2
−
2
x
+
1
=
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}}
donc
x
2
−
2
x
=
(
x
−
1
)
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1}
et par conséquent,
g
(
x
)
=
−
3
[
(
x
−
1
)
2
−
1
]
−
2
=
−
3
(
x
−
1
)
2
+
3
−
2
=
−
3
(
x
−
1
)
2
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=-3[(x-1)^{2}-1]-2\\&=-3(x-1)^{2}+3-2\\&=-3(x-1)^{2}+1.\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de
f
{\displaystyle f}
, c'est-à-dire résoudre l'équation
(
E
)
:
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle (E)~:~f(x)=0}
d'inconnue
x
{\displaystyle x}
.
En effet,
(
E
)
⇔
a
[
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
]
=
0
{\displaystyle (E)\Leftrightarrow a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]=0}
donc (comme
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
)
(
E
)
⇔
(
x
+
b
2
a
)
2
−
Δ
4
a
2
=
0
⇔
(
x
+
b
2
a
)
2
=
Δ
4
a
2
{\displaystyle (E)\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}}
.
Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :
si
Δ
>
0
,
(
E
)
⇔
[
x
+
b
2
a
=
Δ
4
a
2
ou
x
+
b
2
a
=
−
Δ
4
a
2
]
⇔
[
x
=
−
b
+
Δ
2
a
ou
x
=
−
b
−
Δ
2
a
]
{\displaystyle \Delta >0,~(E)\Leftrightarrow \left[x+{\frac {b}{2a}}={\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}{\text{ ou }}x+{\frac {b}{2a}}=-{\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}\right]\Leftrightarrow \left[x={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}{\text{ ou }}x={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right]}
;
si
Δ
=
0
,
(
E
)
⇔
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle \Delta =0,~(E)\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{2a}}}
;
si
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
, il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.
Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :
Début d’un théorème
Fin du théorème
On remarque que dans le cas
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
,
x
0
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle x_{0}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
. On dit que la racine est double.
Conséquences graphiques
Début d’un principe
Interprétation graphique
Les racines de f correspondent aux abscisses des points d'intersection de
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
, la courbe représentative de f , avec l’axe des abscisses (horizontal).
Fin du principe
Si
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
alors il n'y a pas d'intersection entre
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
et l’axe des abscisses.
Si
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
alors
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées
(
−
b
2
a
;
0
)
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}};0\right)}
Si
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
alors
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées
(
−
b
−
Δ
2
a
;
0
)
{\displaystyle \left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}};0\right)}
et
(
−
b
+
Δ
2
a
;
0
)
{\displaystyle \left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}};0\right)}
Les 6 cas qui peuvent se présenter
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
a > 0
Deux racines
Une racine
Pas de racines
a < 0
Deux racines
Une racine
Pas de racines
Exemples
Début de l'exemple
Exemple détaillé
Calculer le discriminant puis les racines éventuelles des trinômes suivants.
f (x ) = 7x 2 + 6x − 1 ;
g (x ) = −3x 2 − 6x − 9.
Solution
f est un polynôme du second degré avec a = 7, b = 6 et c = −1.
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
6
2
−
4
×
7
×
(
−
1
)
=
36
+
28
=
64
>
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=6^{2}-4\times 7\times (-1)=36+28=64>0}
donc f a deux racines :
x
1
=
−
b
−
Δ
2
a
=
−
6
−
64
2
×
7
=
−
6
−
8
14
=
−
14
14
=
−
1
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-6-{\sqrt {64}}}{2\times 7}}={\frac {-6-8}{14}}={\frac {-14}{14}}=-1}
et
x
2
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
6
+
64
2
×
7
=
−
6
+
8
14
=
2
14
=
1
7
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-6+{\sqrt {64}}}{2\times 7}}={\frac {-6+8}{14}}={\frac {2}{14}}={\frac {1}{7}}}
.
g est un polynôme du second degré avec a = −3, b = −4 et c = −9.
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
(
−
4
)
2
−
4
×
(
−
3
)
×
(
−
9
)
=
16
−
108
=
−
92
<
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times (-3)\times (-9)=16-108=-92<0}
donc g n'a aucune racine réelle.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple