En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Réels et imaginaires purs
Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Comment choisir l’entier naturel
pour que :
1° soit un réel positif ?
2° soit un imaginaire pur ?
Solution
est :
1° réel positif si
, c'est-à-dire
;
2° imaginaire pur si
, c'est-à-dire
.
étant un nombre complexe non réel, on considère les nombres
et
définis par :
![{\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {z^{2}}{z+1}}\\z_{2}={\frac {1}{z\left(z+1\right)}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acad4f7ac62ac301a8c11d7b6d7469de042f78f4)
Déterminez
tel que
et
soient tous deux réels. Dans ce cas, déterminez
et
.
Solution
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} &\Leftrightarrow z_{2},z^{3}\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z\left(z+1\right),z^{3}\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1,z^{3}-1\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1,\left(z^{2}+z+1\right)\left(z-1\right)\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4746f9b3bdb3593597063c9407730d69bb31add)
(car par hypothèse,
).
Les solutions
sont donc
et
, et dans les deux cas,
.
Soient
et
deux nombres complexes. On suppose
.
- Démontrez que
.
- Étudiez de même :
.
Solution
Soit
.
.
- De même,
.
1° Déterminez l’ensemble des valeurs de
, nombre complexe, pour lesquelles
est défini. Dans ce cas, calculez
.
2° Déterminez l'ensemble des valeurs de
:
- pour lesquelles
est réel ;
- pour lesquelles
est imaginaire pur.
Soit
l'application de
dans
définie par :
.
Soit M l'image de
dans le plan complexe.
1° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit réel.
2° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit imaginaire pur.
Soit
l'application de
dans
définie par :
![{\displaystyle f(z)={\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3dd498c1e6119e55c19dc8420a529e421aeb2b)
Soit M l'image de
dans le plan complexe.
1° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit réel.
2° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit imaginaire pur.
Solution
Soient
les coordonnées de M.
(union des deux axes).
(hyperbole).
1° Soit
, entier naturel. Démontrez que :
est réel ;
est imaginaire pur.
2° Calculez :
et
.
- Chaque somme est finie ; le dernier terme dépend de la parité de
.