Similitude/Exercices/Images d'ensembles

Exercice 3-1

$ABCD$ est un carré tel que $({\vec {AB}},\,{\vec {AD}})={\frac {\pi }{2}}$. Construisez l'image de ce carré par :

1. la similitude directe $s$ de centre $A$, de rapport $2$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ;
2. la similitude directe $s'$ de centre $A$, de rapport ${\sqrt {2}}$ et d'angle ${\frac {\pi }{4}}$.

Solution

1. $s$ envoie $ABCD$ sur le carré $AB'C'D'$ tel que $({\vec {AB'}},\,{\vec {AD'}})={\frac {\pi }{2}}$ et ${\vec {AB'}}=2{\vec {AD}}$.
2. $s'$ envoie $ABCD$ sur le carré $ACC''D''$ tel que $({\vec {AC}},\,{\vec {AD''}})={\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 3-2

$ABC$ est un triangle équilatéral tel que $({\vec {AB}},\,{\vec {AC}})={\frac {\pi }{3}}$. On note $G$ son centre de gravité.

Construisez l'image de ce triangle par la similitude directe de centre $G$, de rapport $2$ et d'angle $-{\frac {\pi }{3}}$.

Solution

Notons $A'B'C'$ le triangle image. Dans le repère orthogonal direct d'origine $G$, de premier vecteur ${\vec {GA}}$ et de second vecteur de même norme, les points $A$, $C$ et $C'$ ont pour affixes respectives $1$, ${\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$ et ${\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\times \left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=-2$ donc ${\vec {GC'}}=-2{\vec {GA}}$. Par permutation circulaire, on en déduit : ${\vec {GA'}}=-2{\vec {GB}}$ et ${\vec {GB'}}=-2{\vec {GC}}$.

 

Exercice 3-3

$ABC$ est un triangle équilatéral tel que $({\vec {AB}},\,{\vec {AC}})={\frac {\pi }{3}}$. On note $J$ le milieu de $[AC]$.

Construisez l'image de ce triangle par la similitude directe de centre $J$, de rapport ${\sqrt {3}}$ et d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$.

Solution

Dans le repère orthogonal direct d'origine $J$, de premier vecteur ${\vec {JA}}$ et de second vecteur de même norme, les points $A,B,C$ ont pour affixes $1,\mathrm {i} {\sqrt {3}},-1$ donc leurs images $A',B',C'$ ont pour affixes $-\mathrm {i} {\sqrt {3}},3,\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

Par conséquent, $C'=B$, $A'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $J$ et ${\vec {JB'}}=3{\vec {JA}}$.

 

Exercice 3-4

Soit $s$ la similitude dont l'écriture complexe est : $z'=(1+2\mathrm {i} )z+2-5\mathrm {i}$. Trouvez l'image par $s$ :

1. de la droite $D$ qui passe par les points d'affixes $1-2\mathrm {i}$ et $-1+\mathrm {i}$ ;
2. du cercle $C$ de rayon ${\sqrt {5}}$ dont le centre a pour affixe $1-\mathrm {i}$.

Solution

1. $s(D)$ est la droite qui passe par les points d'affixes $7-5\mathrm {i}$ et $-1-6\mathrm {i}$.
2. $s(C)$ est le cercle de rayon $5$ dont le centre a pour affixe $5-4\mathrm {i}$.

 

Exercice 3-5

Soit $s$ la similitude dont l'écriture complexe est : $z'=2\mathrm {i} z-3$. Trouvez l'image par $s$ :

1. du cercle $C_{1}$ de rayon $2$ dont le centre a pour affixe $1+\mathrm {i}$ ;
2. du cercle $C_{2}$ de rayon $1$ dont le centre a pour affixe $0$ ;
3. de la droite $D$ qui passe par les points communs à $C_{1}$ et $C_{2}$.

Solution

1. $s(C_{1})$ est le cercle de rayon $4$ dont le centre a pour affixe $-5+2\mathrm {i}$.
2. $s(C_{2})$ est le cercle de rayon $2$ dont le centre a pour affixe $-3$.
3. $s(D)$ est la droite qui passe par les deux points dont les coordonnées $(x,y)$ vérifient $(x+5)^{2}+(y-2)^{2}=4^{2}$ et $(x+3)^{2}+y^{2}=2^{2}$, c'est-à-dire $x^{2}+y^{2}=-10x+4y-13=-6x-5$, ou encore : $y=x+2$ et $(x+3)^{2}+(x+2)^{2}=2^{2}$, soit : $(x,y)={\frac {(-5,-1)\pm {\sqrt {7}}(1,1)}{2}}$.

 

Exercice 3-6

Soit $s$ la similitude dont l'écriture complexe est : $z'=\left({\sqrt {3}}-\mathrm {i} \right)z$. Trouvez l'image par $s$ :

1. du cercle dont le centre $\Omega$ a pour affixe $1+\mathrm {i}$ et qui passe par $O$ d'affixe $0$ ;
2. de la droite qui passe par $\Omega$ et par le point d'affixe $-4\mathrm {i}$.

Solution

1. L'image est le cercle dont le centre $\Omega '$ a pour affixe $1+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} ({\sqrt {3}}-1)$ et qui passe par $O$.
2. L'image est la droite qui passe par $\Omega '$ et par le point d'affixe $-4\left(1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)$.

 

Exercice 3-7

Soit $s$ la similitude dont l'écriture complexe est : $z'=(3+4\mathrm {i} )z-4+2\mathrm {i}$.

Trouvez l'image par $s$ du cercle $C$ qui passe par $I$ d'affixe $1-\mathrm {i}$ et qui est tangent en $J$ d'affixe $2$ à une droite qui passe par le point $K$ d'affixe $2\mathrm {i}$.

Solution

On pourrait parfaitement se contenter de calculer les affixes des images de $I,J,K$ puis répondre dans des termes aussi alambiqués que ceux de l'énoncé : « $s(C)$ est le cercle qui passe par … et qui est tangent en … à une droite qui passe par … ». Mais on peut faire mieux, en remarquant que $(IJ)\perp (KJ)$ : $C$ est simplement le cercle de diamètre $[IJ]$ donc $s(C)$ est le cercle de diamètre $[I'J']$, où $I',J'$ ont pour affixes $3+3\mathrm {i}$ et $2+10\mathrm {i}$.