En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Étude d'un trinôme Équations et fonctions du second degré/Exercices/Étude d'un trinôme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1
Soit la fonction définie sur par :
.
Étude graphique
Représenter graphiquement la fonction sur une calculatrice en utilisant la fenêtre suivante :
.
Donner un compte rendu de tracé.
Conjecturer le tableau de variation de à l'aide de ce tracé.
Conjecturer les antécédents de par à l'aide de ce tracé.
Vérifier par le calcul ces deux conjectures.
Solution
Graphique Google. (forme canonique) vaut pour et vaut pour . Ces quatre points sont les extrémités des deux segments de parabole visibles dans la fenêtre.
semble croissante puis décroissante, avec un maximum au milieu de et .
semble s'annuler en et .
donc est croissante sur et décroissante sur , de maximum (et de limite en ), et s'annule en , c'est-à-dire en .
Calculs
Démontrer que : . Comment s’appelle cette expression de la fonction ?
En déduire le tableau de variation de .
Traduire ce tableau de variations par trois phrases utilisant respectivement les mots « croissante », « décroissante » et « maximum ».
Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de par .
Solution
Tout a déjà été dit dans la section précédente.
Exercice 2
Soit la fonction définie sur par :
.
Démontrer que .
En déduire le tableau de variation de et le traduire par trois phrases.
Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de par .
Solution
La vérification est immédiate en développant .
est décroissante sur et croissante sur , de minimum (et de limite en ).
.
Exercice 3
Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x2 − 5x + 1.
Dresser un tableau de variation f sur [0, 3].
Solution
f est une fonction du second degré sous la forme ax2 + bx + c avec a = 2, b = −5 et c = 1.
a > 0 donc la courbe représentative de f est une parabole de sommet S(xS ; yS) « tournée vers le haut »
On a :
.
Donc f est décroissante sur ]−∞,] et croissante sur [, +∞[.