Équations et fonctions du second degré/Exercices/Étude d'un trinôme

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=-x^2-6x+7$.

Étude graphique

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ sur une calculatrice en utilisant la fenêtre suivante :

   $x_{min}=-10,x_{max}=10,y_{min}=-10,y_{max}=10$.

   Donner un compte rendu de tracé.

2. Conjecturer le tableau de variation de $f$ à l'aide de ce tracé.
3. Conjecturer les antécédents de $0$ par $f$ à l'aide de ce tracé.
4. Vérifier par le calcul ces deux conjectures.

Solution

1. Graphique Google. $f(x)=16-{(x+3)}^2$ (forme canonique) vaut $-10$ pour $x=-3\pm \sqrt{26}\approx -\mathrm{8,1},\mathrm{2,1}$ et vaut $10$ pour $x=-3\pm \sqrt{6}\approx -\mathrm{5,45},-\mathrm{0,55}$. Ces quatre points sont les extrémités des deux segments de parabole visibles dans la fenêtre.
2. $f$ semble croissante puis décroissante, avec un maximum au milieu de $-\mathrm{5,4}$ et $-\mathrm{0,6}$.
3. $f$ semble s'annuler en $-7$ et $1$.
4. $f(x)=16-{(x+3)}^2$ donc $f$ est croissante sur $]-\mathrm{\infty },-3]$ et décroissante sur $[-3,+\mathrm{\infty }[$, de maximum $f(-3)=16$ (et de limite $-\mathrm{\infty }$ en $\pm \mathrm{\infty }$), et s'annule en $-3\pm 4$, c'est-à-dire en $x=1\text{ et }-7$.

 

Calculs

1. Démontrer que : $f(x)=-(x+3{)}^2+16$. Comment s’appelle cette expression de la fonction $f$ ?
2. En déduire le tableau de variation de $f$.
3. Traduire ce tableau de variations par trois phrases utilisant respectivement les mots « croissante », « décroissante » et « maximum ».
4. Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de $0$ par $f$.

Solution

Tout a déjà été dit dans la section précédente.

 

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=2x^2+4x-16$.

1. Démontrer que $f(x)=2{(x+1)}^2-18$.
2. En déduire le tableau de variation de $f$ et le traduire par trois phrases.
3. Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de $0$ par $f$.

Solution

1. La vérification est immédiate en développant $2{(x+1)}^2-18$.
2. $f$ est décroissante sur $]-\mathrm{\infty },-1]$ et croissante sur $[-1,+\mathrm{\infty }[$, de minimum $f(-1)=-18$ (et de limite $+\mathrm{\infty }$ en $\pm \mathrm{\infty }$).
3. $2{(x+1)}^2-18=0\iff x=-1\pm 3=2\text{ ou }-4$.

 

Exercice 3

1. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x² − 5x + 1.
2. Dresser un tableau de variation f sur [0, 3].

Solution

f est une fonction du second degré sous la forme ax² + bx + c avec a = 2, b = −5 et c = 1.

a > 0 donc la courbe représentative de f est une parabole de sommet S(x_S ; y_S) « tournée vers le haut »

On a :

$x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-5)}{2\times 2}=\frac{5}{4}$.

Donc f est décroissante sur ]−∞,$\frac{5}{4}$] et croissante sur [$\frac{5}{4}$, +∞[.

On calcule donc f(0), f(3) et f($\frac{5}{4}$),

$\begin{array}{cc}f(0)& =2\times 0^2-5\times 0+1=1\\ f(3)& =2\times 3^2-5\times 3+1=18-15+1=4\\ f(\frac{5}{4})& =2\times (\frac{5}{4}{)}^2-5\times \frac{5}{4}+1=\frac{25}{8}-\frac{25}{4}+1=\frac{25}{8}-\frac{50}{8}+\frac{8}{8}=\frac{-17}{8}.\end{array}$

D'après la question précédente, on a donc :

$\begin{array}{cccccc}x& 0& & -\frac{5}{4}& & 3\\ & & & & & \\ & 1& & & & 4\\ \text{Variations de }f& & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \frac{-17}{8}& \end{array}$

 

Exercice 4

Déterminer les ensembles $A=\{x\in {ℝ}^{\ast }\mid x+\frac{1}{x}<2\}$ et $B=\{x\in {ℝ}^{\ast }\mid x+\frac{1}{x}\le 2\}$.

Solution

Pour tout réel $x$,

$(x\ne 0\wedge x+\frac{1}{x}<2)\iff ((x>0\wedge x^2-2x+1<0)\vee (x<0\wedge x^2-2x+1>0))$

donc $A=]-\mathrm{\infty },0[$.

$(x\ne 0\wedge x+\frac{1}{x}=2)\iff x=1$

donc $B=A\cup \{1\}$.