En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Fonction arctan Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arctan », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1
Soit un réel fixé.
Étudier les variations de la fonction :
.
En déduire que pour tout réel tel que ,
.
Que dire si ?
Solution
Le cas étant immédiat, supposons désormais .
La fonction est définie sur , et dérivable :
La fonction est donc constante sur chacune des deux demi-droites (, ) dont est la réunion.
On en déduit que pour tout tel que , , ce qui prouve l'égalité annoncée.
Par passage à la limite quand tend vers l'une des deux bornes (au choix) de la demi-droite , on en déduit également :
Puis, lorsque , on obtient de même (en calculant, en l'une des deux extrémités au choix, la valeur constante de sur l'autre demi-droite, ) :
Remarque
Les formules pour ont été démontrées en cours par une méthode bien plus directe, qui permet aussi de démontrer la formule pour .