En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Contraposées Implication et équivalence/Exercices/Contraposées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 2-1
Soit telle que est croissante et est strictement décroissante. Montrer que est strictement décroissante.
Solution
Par hypothèse :
;
.
Soient tels que . Posons et .
D'après 2, .
Par contraposition de 1, on en déduit : .
On a donc bien :
.
Exercice 2-2
Soient telles que . Montrer que l'une au moins de ces deux applications est constante.
Solution
Pour tous , on a :
;
;
.
De 2 et 3 on déduit :
ou encore :
,
c'est-à-dire :
donc avec 1 :
.
Par conséquent, si n'est pas constante alors l'est.